Antecedentes
Sé que la métrica de Schwarzschild es:
$$d s^{2}=c^{2}\left(1-\frac{2 \mu}{r}\right) d t^{2}-\left(1-\frac{2 \mu}{r}\right)^{-1} d r^{2}-r^{2} d \Omega^{2}$$
Sé que si divido por $d \lambda^2$, obtengo el Lagrangiano:
$$ L=c^{2}\left(1-\frac{2 \mu}{r}\right) \dot{t}^{2}-\left(1-\frac{2 \mu}{r}\right)^{-1} \dot{r}^{2}-r^{2} \dot{\theta}^{2}-r^{2} \sin ^{2} \theta \dot{\phi}^{2} $$
(donde también hemos expandido $\Omega^{2}$ en partes dependientes de $\theta$ y $\phi$ pero ese no es el punto principal).
Los puntos arriba de las letras denotan la diferenciación con respecto al parámetro afín $\lambda$.
Las ecuaciones de Euler-Lagrange son:
$$\frac{\partial L}{\partial x^{\mu}}=\frac{d}{d \lambda}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{x}^{\mu}}\right)$$
Lo cual, para $x^{\mu}=r$, $\theta=\pi/2$, resulta en:
$$\left(1-\frac{2 \mu}{r}\right)^{-1} \ddot{r}+\frac{\mu c^{2}}{r^{2}} \dot{t}^{2}-\left(1-\frac{2 \mu}{r}\right)^{-2} \frac{\mu}{r^{2}} \dot{r}^{2}-r \dot{\phi}^{2}=0$$
Fijemos $\theta=\pi/2$ para el resto de esta publicación.
El problema
Estoy satisfecho con todo hasta este punto. Ahora mis notas dicen:
Sin embargo, a menudo es más conveniente usar una integral adicional de movimiento, que se sigue directamente de $L = c^2$ para una partícula masiva, y $L = 0$ para una partícula sin masa:
$$ \left(1-\frac{2 \mu}{r}\right) c^{2} \dot{t}^{2}-\left(1-\frac{2 \mu}{r}\right)^{-1} \dot{r}^{2}-r^{2} \dot{\phi}^{2}=\left\{\begin{array}{lc} c^{2} & \text { masiva } \\ 0 & \text { sin masa } \end{array}\right. $$
¿Por qué se llama a esto una primera integral? ¿No es simplemente el Lagrangiano? Mis notas de otro curso tienen esto que decir sobre las primeras integrales:
Cuando $L\left(y(\lambda), y^{\prime}(\lambda) ; \lambda\right)$ no tiene dependencia explícita de $\lambda$, es decir, cuando $\frac{\partial L}{\partial \lambda}=0,$ entonces tenemos la primera integral
$$ \dot{y} \frac{\partial L}{\partial \dot{y}}-L=\mathrm{const.} $$
Entonces, ¿por qué la cita anterior afirma que el Lagrangiano en sí mismo es la primera integral? ¿Por qué no $\dot{r} \frac{\partial L}{\partial \dot{r}}-L=\mathrm{const.}$ es mi primera integral?
Intento de resolución
Calculemos $\dot{r} \frac{\partial L}{\partial \dot{r}}-L$, con la esperanza de que pueda revelar que $\dot{r} \frac{\partial L}{\partial \dot{r}}-L=\mathrm{const.}$ y que $ L=\left\{\begin{array}{lc} c^{2} & \text { masiva } \\ 0 & \text { sin masa } \end{array}\right. $ es lo mismo expresado de manera diferente.
$\frac{\partial L}{\partial \dot{r}}=-2\left(1-\frac{2 V}{r}\right)^{-1} \dot{r}$
Entonces $\dot{r} \frac{\partial L}{\partial \dot{r}}-L$ se convierte en:
$$-\left(1-\frac{2 \mu}{r}\right) c^{2}\dot{t}^{2}-\left(1-\frac{2 \mu}{r}\right)^{-1} \dot{r}^{2}+r^{2} \dot{\phi}^{2}=\operatorname{const}$$
Cambiemos los signos, luego comparemos las dos expresiones:
$$\left(1-\frac{2 \mu}{r}\right) c^{2}\dot{t}^{2}\bbox[5px,border:3px solid green]{+}\left(1-\frac{2 \mu}{r}\right)^{-1} \dot{r}^{2}-r^{2} \dot{\phi}^{2}=-\operatorname{const}$$
$$ \left(1-\frac{2 \mu}{r}\right) c^{2} \dot{t}^{2}\bbox[5px,border:3px solid red]{-}\left(1-\frac{2 \mu}{r}\right)^{-1} \dot{r}^{2}-r^{2} \dot{\phi}^{2}=\left\{\begin{array}{lc} c^{2} & \text { masiva } \\ 0 & \text { sin masa } \end{array}\right. $$
Podemos ver que algunos signos difieren si creo que la primera integral es $\dot{r} \frac{\partial L}{\partial \dot{r}}-L$ y no $L$ en sí mismo. Sin embargo, estoy bastante seguro de que el resultado que obtengo usando $\dot{r} \frac{\partial L}{\partial \dot{r}}-L$ es incorrecto, ya que usamos el otro resultado a lo largo de las notas de la conferencia y parece estar funcionando.
Estoy mayormente satisfecho con la relación:
$$ \left(1-\frac{2 \mu}{r}\right) c^{2} \dot{t}^{2}\bbox[5px,border:3px solid red]{-}\left(1-\frac{2 \mu}{r}\right)^{-1} \dot{r}^{2}-r^{2} \dot{\phi}^{2}=\left\{\begin{array}{lc} c^{2} & \text { masiva } \\ 0 & \text { sin masa } \end{array}\right. $$
Esto es cierto si el parámetro afín es el tiempo propio y la partícula es masiva. (Entonces $ds^2=c^2d\tau^2$, por lo que $ds^2/d\tau^2 = c^2$.) Si el parámetro afín no puede ser tiempo propio, entonces la partícula viaja con la velocidad de la luz y por lo tanto es un fotón, que tiene una trayectoria nula, haciendo $ds^2$ cero. Puedo hacer el salto de fe de que si esto es cierto para el tiempo propio como parámetro afín, también es cierto para parámetros afines que no son tiempo propio.
También estoy satisfecho con la relación:
$$\left(1-\frac{2 \mu}{r}\right) c^{2}\dot{t}^{2}\bbox[5px,border:3px solid green]{+}\left(1-\frac{2 \mu}{r}\right)^{-1} \dot{r}^{2}-r^{2} \dot{\phi}^{2}=-\operatorname{const}$$
porque la derivación parece correcta.
Pregunta reenfocada
Lo que no me satisface es llamar a la primera relación una primera integral. Probablemente se llame así, una pregunta de examen (página 24 del PDF, tercer párrafo desde abajo) que pide (creo) esa ecuación diciendo "[...] use una expresión más simple dada por la primera integral de las ecuaciones geodésicas." Así que creo que hay algo aquí que no entiendo.
Comprobación del álgebra de la respuesta de Othin
Como se sugiere, calculemos $\dot{t}\frac{\partial L}{\partial \dot{t}} - L=\operatorname{const}$.
$$\frac{\partial L}{\partial t}=2 c^{2}\left(1-\frac{2 H}{r}\right) \dot{t}$$
Luego
$$\dot{t}\frac{\partial L}{\partial \dot{t}} - L = \dot{t} 2 c^{2}\left(1-\frac{2 H}{r}\right) \dot{t} - \left(c^{2}\left(1-\frac{2 \mu}{r}\right) \dot{t}^{2}-\left(1-\frac{2 \mu}{r}\right)^{-1} \dot{r}^{2}-r^{2} \dot{\phi}^{2}\right)=\operatorname{const}$$
es decir
$$c^{2}\left(1-\frac{2 H}{r}\right) \dot{t}^2 \bbox[5px,border:3px solid green]{+} \left(1-\frac{2 \mu}{r}\right)^{-1} \dot{r}^{2} \bbox[5px,border:3px solid green]{+} r^{2} \dot{\phi}^{2}=\operatorname{const}$$
Lo cual no es $L$, pero está cerca. (Los signos están mal.)
