Comprensión del concepto de diferenciabilidad de alto orden de forma conceptual

Question

Entiendo conceptualmente que una función $f\colon A\to\mathbf R$ es diferenciable en un punto $a\in A$ si puede ser bien aproximada por una recta allí; más precisamente, si podemos encontrar una constante $f'(a)$ tal que $$f(a+h) = f(a) + f'(a)h+o(h).$$

Mi objetivo: quiero entender (intuitivamente) qué significa cuando una función es dos veces diferenciable, o tres veces, etc, y asimismo qué significa cuando no lo es.

En un sentido muy general, tengo la intuición de que una función es de alguna manera más suave alrededor de un punto si tiene diferenciabilidad de orden superior allí, y supongo que esto de alguna manera corresponde al hecho de que puede ser aproximada bien no solo por una recta sino aún mejor por un polinomio. (por ejemplo, la doble diferenciabilidad es $f(a+h) = f(a) + f'(a)h + \tfrac12f''(a)h^2 + o(h^2)$, etc.). ¿Significa esto que los polinomios definen canónicamente la noción de "suavidad"?

Tal vez pueda expresar mejor lo que estoy preguntando con un ejemplo. Cuando miro las gráficas de $$y=x|x| \qquad \text{y} \qquad y=x^3$$ por ejemplo, veo que la última crece más rápido que la primera, pero alrededor de cero, ambas básicamente se ven "suaves" para mí. Sí, sé que una está hecha de la función de valor absoluto que es puntiaguda, pero si solo me mostraran estas dos imágenes:

Realmente no sentiría que una de ellas es de alguna manera "más suave" alrededor de cero que la otra.

¿Hay una mejor manera en la que pueda pensar sobre esto?

Answer 1

Aquí hay algunos pensamientos:

Para estudiar, como siempre, uso mi herramienta favorita de teorema de Taylor(*):

$$ f(a+h) = f(a) + h f'(a) + \frac{h^2}{2} f''(a) + O(h^3)$$

Ahora, analicemos $f''(a)$, si $f(a+h)$ no es diferenciable, significa que la derivada por la izquierda y la derivada por la derecha no son iguales, es decir (o tal vez el límite en sí mismo no existe, pero olvidemos el caso por ahora):

$$ \lim_{h \to 0} \frac{f'(a+h) - f'(a)}{h} \neq \frac{f'(a) - f'(a-h)}{h}$$

Llamemos a la segunda derivada por la derecha como $f_{R}$ y la segunda derivada por la izquierda como $f_{L}$, esto lleva a 'dos' series de la función localmente. Es decir, para puntos a la derecha de $f$, tenemos

$$ f(a+h) = f(a) + hf'(a) + \frac{h^2}{2} f_{R}''(a) + O(h^3)$$

Y otra serie para la izquierda de $f$ como:

$$ f(a-h) = f(a) - h f'(a) + \frac{h^2}{2} f_{L}''(a) + O(h^3)$$

Ahora, aquí está el trato, la segunda derivada y términos superiores solo se vuelven realmente relevantes (para la mayoría de las funciones agradables) después de $h>1$, esto porque si $h<1$ entonces $h^2 < h$, entonces resulta que si es solo la segunda derivada y superior de una función la que no coincide, la serie de Taylor aproxima bien ... pero fuera de ese límite, necesitamos tener cuidado y usar la definición por partes.

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*: El enlace es a un artículo que he escrito al respecto, te sugiero encarecidamente que lo leas si deseas una verdadera visión del teorema.

**: Derivada por la derecha: $\frac{f'(a+h)-f'(a)}{h}$ y la derivada por la izquierda $\frac{f'(a) - f'(a-h)}{h}$

***: Si nos restringimos a la diferenciabilidad de segundas derivadas, entonces podemos pensar en ello como el cambio repentino de la convexidad del gráfico.

Answer 2

No puedo dar una respuesta completa aquí, pero si piensas en la segunda derivada, tienes una discontinuidad en la gráfica izquierda.

Ejemplo práctico: Imagina que la línea roja es una carretera y conduces con el coche de izquierda a derecha, luego tienes un fuerte giro del volante en el origen en sentido contrario a las agujas del reloj. Para la carretera del lado derecho tienes un giro suave.

Answer 3

Creo que hay una forma en la que los polinomios pueden ser vistos como "definiendo la noción de suavidad" porque una función cuya derivada $n$th es idénticamente $0$ es un polinomio de grado $n-1$.

Answer 4

Creo que sería difícil deducir que $x|x|$ no es dos veces diferenciable en $x=0$ simplemente mirando su gráfico, pero así es como lo pensaríaa. Cada función $y=f(x)$ puede ser trivialmente parametrizada con respecto a la coordenada $x$, lo que significa que podemos definir su función de desplazamiento como $s(t)=(t,f(t))$, y su función de velocidad como $v(t)=(1,f'(t))$. La segunda derivada tiene entonces una interpretación ligeramente más concreta como la tasa de cambio de la componente vertical de la función de velocidad.

En el caso de $y=x^3$, $s(t)=(t,t^3)$ y $v(t)=(1,3t^2)$. En la animación a continuación, el vector de velocidad está representado por la flecha roja, y la componente vertical de ese vector de velocidad también se muestra por separado en verde:

Observa cómo la flecha verde se desacelera suavemente antes de llegar a cero, y luego comienza a acelerar nuevamente. Esto es en contraste con el comportamiento de $y=x|x|$ alrededor de $0$:

Dado que la derivada de $x|x|$ es $|x|$, la flecha del vector verde se mueve hacia abajo a una velocidad constante, y luego cambia de dirección instantáneamente y sube a la misma velocidad cuando $x>0$. Observar cómo las flechas vectoriales rojas y verdes surgen repentinamente nos da una pista sobre la diferenciabilidad de $x|x|$ en $0$. Por supuesto, esta animación no es completamente convincente, y las cosas se vuelven mucho más difíciles cuando empiezas a hablar de terceras y cuartas derivadas, pero así es como me gusta pensar de manera intuitiva. La analogía del coche de @Fakemistake también me ayudó a comprender esto.