¿Por qué la topología de medio disco no es separable?

Question

La topología de medio disco es la topología en el semiplano superior (con el eje $X$) donde los conjuntos básicos son bolas abiertas en el semiplano superior y medios discos abiertos con el punto central (en el eje $X$). La definición exacta está en la imagen adjunta. (es del libro ejemplos contraejemplos en topología). Mi problema es que más adelante en esa página, el escritor afirma que este espacio no es, separable, y no entiendo por qué. Toma el conjunto de todos los puntos (p,q) donde $p$ y $q$ son números racionales y donde $q \geq 0$. ¿No es este un conjunto denso numerable si el espacio descrito??

Answer 1

Esto debe ser un error en el texto. Tenga en cuenta que este es el Ejemplo 78 en Contraejemplos en Topología , y si mira los gráficos en el Apéndice indica que el Ejemplo 78 es separable. (¡Y tu razonamiento me parece impecable!)

Probablemente lo que se quiso decir es que el subespacio $L$ de $X$ no es separable (¡es innumerable y discreto!), y por lo tanto todo el espacio no puede ser de segundo conteo (ya que cada subespacio de un espacio de segundo conteo es de segundo conteo, por lo tanto separable).

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Anexo: Esto parece ser un error en la primera edición. La respuesta anterior tomó información de la segunda edición de Contraejemplos . Tras una inspección más cercana, la información de la segunda edición sobre la Topología del Medio Disco difiere de la de la primera en el punto en cuestión:

  

(5.) El subespacio $L$ es discreto e innumerable, por lo que $( X , \tau^* )$ no es de segundo conteo. Tampoco es Lindelöf, ya que la cobertura por los vecindarios de base no tiene una subcobertura numerable. Pero claramente $(X, \tau^*)$ es tanto separable como de primer conteo.

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