¿Hasta qué punto podemos reorganizar una serie?

Question

Hay un resultado bien conocido de que si $\sum a_n$ es convergente condicionalmente, entonces para cualquier real $c$ existe una permutación $\pi:\mathbb{N} \to \mathbb{N}$ tal que $\sum a_{\pi(n)} = c$.

Una consecuencia de esto es que no puedes salirte con la tuya al reorganizar sumas infinitas, en general. Sin embargo, si el reordenamiento es lo suficientemente moderado, entonces podemos salirnos con la nuestra. Por ejemplo, si reordenamos solo un número finito de términos, podemos hacerlo sin que cambie el valor de la suma. De hecho, hay un resultado más fuerte que si tenemos una permutación $\pi$ y una constante uniforme $M$ tal que $|\pi(n) - n| < M$ para todos los enteros positivos $n$, entonces $\sum a_n = \sum a_{\pi(n)}$. Esto no es muy difícil de probar. Mi pregunta es, en esencia, ¿podemos obtener un resultado "máximamente fuerte" de este tipo?

Específicamente, hago la siguiente pregunta:

Caracteriza permutaciones $\pi:\mathbb{N} \to \mathbb{N}$ con la siguiente propiedad:

Para cualquier sumatoria infinita convergente $\sum a_n$, tenemos que $\sum a_n = \sum a_{\pi(n)}$.

Observa el orden de los cuantificadores aquí.

Es concebible que el resultado que describí en el segundo párrafo sea lo mejor que podemos hacer, en el sentido de que si $\sup_n |\pi(n) - n| = \infty$, existe un $a_n$ convergente condicionalmente con $\sum a_n \neq \sum a_{\pi(n)}$. Quizás podamos hacerlo mejor, sin embargo. Una suposición es cambiar ligeramente las hipótesis de la siguiente manera: existe un $M$ uniforme tal que $|\pi(n) - n| < M$ para todos $n \in \mathbb{N} \setminus S$, donde $S$ es un subconjunto de $\mathbb{N}$ con densidad asintótica de $0$.

Answer 1

Una solución fue señalada por @fedja en el comentario. Aquí presento una demostración completa. Una condición necesaria y suficiente sobre $\pi$ es:

$(C)$ Existe una constante $M>0$ tal que para cada $n \in \mathbb N$, $\pi(\{0,\ldots , n\})$ es una unión de a lo sumo $M$ intervalos de enteros consecutivos.

Prueba Escribimos $[m,n] = \{m,m+1,\ldots ,n-1 \}$ para cualquier entero $n\in\mathbb N$.

1. Sea $M>0$ como en $(C)$. Para $n$ suficientemente grande, podemos escribir: $$\pi([0,n]) = [0,b^1_n] \cup [a^2_n,b^2_n] \cup \ldots \cup [a^M_n,b^M_n]$$

con $b_1^n < a^{2}_n \leq b^2_n (ya que $[k,k] = \emptyset$ hay cierta ambigüedad, pero siempre podemos encontrar tales secuencias).

Entonces $\lim_{n\to \infty} b_n^1 = +\infty$ y por lo tanto: $$\begin{array}{rcl} \displaystyle\sum_{k=1}^n a_{\pi(k)} &=& \displaystyle\sum_{k=0}^{b^1_n} a_k + \sum_{i=2}^M \sum_{k= a^i_n}^{b^i_n} a_{k} \\ &\displaystyle\overset{ n\to\infty}{\longrightarrow}&\displaystyle \sum_{k=0}^\infty a_k \end{array}$$

2. Supongamos que para cada $M>0$ existe un $n\in\mathbb N$ tal que $\pi([0,n])$ es una unión disjunta de $>M$ intervalos (separados) de enteros consecutivos. Construyamos $(a_n) \in {\mathbb R}^{\mathbb N}$ tal que $\sum_{n=0}^\infty a_n= 0$ y $\sum_n a_{\pi(n)}$ no lo es.

Podemos encontrar una secuencia estrictamente creciente de enteros $N_k$ tal que:

• $\pi([0,N_k])$ es una unión disjunta de $>k$ intervalos de enteros consecutivos.
• el primer intervalo de $\pi([0,N_{k+1}])$ contiene $0$ y $\pi([0,N_k])$.

Luego, para $n\in\mathbb N$, sea: $$a_n = \left\{ \begin{array}{cl} \frac{1}{k} & \text{si } n \text{ es el primer entero de uno de los intervalos de } \pi([0,N_k]) \\ -\frac{1}{k} &\text{si } n+1 \text{ es el primer entero de uno de los intervalos de } \pi([0,N_k]) \\ 0 & \text{en otro caso} \end{array}\right.$$

De esta forma, tenemos: \begin{align} \lim_{N\to \infty} \sum_{n=0}^N a_n = 0 \\ \forall k\in \mathbb N, \sum_{n=0}^{N_k} a_{\pi(n)} \geq 1 \end{align}

Observaciones y preguntas adicionales

Otra pregunta relacionada es encontrar permutaciones $\pi$ tales que $\sum a_n$ y $\sum a_{\pi(n)}$ converjan, su suma sea la misma. Este es por ejemplo el caso si $\pi([0,n]) = [0,n]$ infinitamente veces, lo cual es compatible con $(\neg C)$.