Limitada variacional de problemas de la intuición

Question

Problema: minimizar $F(x,y,y')$$x$, limitada por $G(x,y,y')=0$.

$$J_1(x,y,y')=\large \int_{x_0}^{x_1}F(x,y,y')+ \lambda (x) G(x,y,y')dx$$

Entiendo que el de Euler-Lagrange ecuación y multiplicadores de Lagrange en multivariable (es decir, no variacional) cálculo, pero estoy teniendo un tiempo difícil ponerlos juntos, no entiendo la lógica detrás de esta ecuación.

1. Es este el mismo $\lambda$ que aparece en el multivariable $\nabla f (x,y)= \lambda \nabla g (x,y) $? Si es así, ¿por qué no es también una función de $y$?
2. Por el lema fundamental del cálculo de variaciones, no $ \int_{x_0}^{x_1}\lambda (x) G(x,y,y')dx=\int_{x_0}^{x_1}\lambda (x) 0dx=0$, lo $J=J_1$, y por lo que la restricción no ha tenido ningún efecto en la integral?

3. Lo que es más importante, ¿qué es la prueba de que si el mínimo de $J_1$ (es decir, el de Euler-Lagrange las ecuaciones están satisfechos con esta nueva integrando) $G$ va a ser limitada correctamente?

   En resumen: ¿cuál es la lógica detrás de esa integrando?

Nota al margen: Sin restricciones, el problema es simplemente para minimizar $$J(x,y,y')=\large \int_{x_0}^{x_1}F(x,y,y')dx$$ es decir, resolver el de Euler-Lagrange ecuación para el funcional $F$ y la variable $y$. (Pregunta: ¿por qué es $G$ generalmente dada como una función de sólo$x$$y$, e $J$$y$? Seguramente en $J$'s caso de que esto limita el número de posibles funcionales $F$ [como la integral no debe ser una función de la $x$ o $y'$], y en $G$'s caso hay muchas posibles limitaciones que implican $y'$ que son pasados por alto?).

Answer 1

Creo que tiene algunos problemas, debido a que el uso incorrecto de la notación. Permítanme que vuelva a escribir su problema original: \begin{align*} \text{Minimize}\quad & J(y) = \int_{x_0}^{x_1} F(x, y(x), y'(x)) \, \mathrm{d} x \\ \text{such that}\quad & G(x, y(x), y'(x)) = 0 \quad\text{for all } x \in [x_0,x_1]. \end{align*} Aquí, $F : \mathbb{R} \times \mathbb R \times \mathbb R \to \mathbb R$ y $G : \mathbb R \times \mathbb R \times \mathbb R \to \mathbb R^n$. ¿Ves las diferencias? $J$ sólo depende de la función de $y$, mientras que el integrando $F$ y la restricción $G$ dependen de los números reales.

Ahora (si una restricción de calificación está satisfecho), se obtiene un multiplicador $\lambda : [x_0, x_1] \to \mathbb R^n$ (comparar con la sección 6.2 en su enlace: consigue una multplier para cada restricción, es decir, para cada una de las $x$), tal que la derivada de la de Lagrange $$J(y) + \int_{t_0}^{t_1} G(x, y(x), y'(x)) \, \lambda(x) \, \mathrm{d} x$$ con respecto a $y$ es de cero (esto es, la derivada de su lagrange w.r.t. la optimización de la variable). Ahora, usted puede continuar como para la derivación de euler-lagrange ecuación.

@2.: Sí, esto es correcto, pero la derivada de $J$ w.r.t. $y$ no es igual a la derivada de la $J_1$ w.r.t. $y$.

@3.: Como joriki ya se dijo, usted tiene que resolver el resultante de Euler-Lagrange ecuación junto con la restricción. En otras palabras: De Euler-Lagrange ecuación depende de $\lambda$. Una vez que se han fijado las $\lambda$, tienen una solución única $y$ (dependiendo $\lambda$). Se queda elegir $\lambda$, de tal manera que el correspondiente $y$ satisface las restricciones (esto es razonable, ya que tiene tantas restricciones como grados de libertad en $\lambda$).