¿Se cumple $\bigcap^{\infty}_{k=0} (I + (X^k)) = I$ en un anillo de series de potencias formales?

Question

Sea $A$ un anillo conmutativo, $A[[X]]$ el anillo de series de potencias formales sobre $A$. Sea $I$ un ideal de $A[[X]]$, ¿tenemos $$\bigcap^{\infty}_{k=0} (I + (X^k)) = I?$$

Gracias de antemano por cualquier ayuda.

Me encontré incluso teniendo problemas para tratar el caso donde $I$ es principal. Si $f(X), f_0(X)\in A[[X]]$, y $$X^k | (f(X) - f_0(X)g_k(X))$$ para todo $k$, ¿debe haber un $g(X)$ tal que $f(X) = f_0(X)g(X)$?

Answer 1

Si $A$ es noetheriano, la afirmación es una consecuencia inmediata del teorema de intersección de Krull. He logrado encontrar un bonito contraejemplo no noetheriano.

Tomemos cualquier campo $k$ y sea $$G:=\{\underset{n\in\mathbb{N}}{\sum}g_ne_n\in\underset{n\in \mathbb{N}}{\prod}\mathbb{N}e_n\mid \forall n\in \mathbb{N},a_n\le a_0\},$$ un monoide aditivo, donde $\mathbb{N}$ contiene el $0$. Introducimos $2$ órdenes diferentes $\preceq, \le$ en $G$. Definimos $g=\sum g_ne_n \preceq h=\sum h_ne_n \iff \forall n\in \mathbb{N}, g_n\le h_n$. $\le$ es el orden lexicográfico en $G$ donde $\sum 0e_n$ es el mínimo. $\le$ es un orden total.

Definimos $M:=\underset{g\in G}{\prod}{k\lambda_g}$ y su subespacio $k$ de $A:=\{\underset{g\in H}{\sum}a_g\lambda_g\in M\mid H\subset G, a_g\in k\}$ donde podemos tomar cualquier $H$ y $a_g$ que satisfagan: (1) $\forall g\in G, \#\{h\in H\mid h\preceq g\}\lt \infty$ y (2) $H’:=\{h\in H\mid a_h\neq 0\}$ está vacío o tiene un elemento mínimo con respecto a $\le$. La condición (1) es claramente cerrada bajo la adición. Para ver que (2) también es cerrada bajo la adición, asumimos para $\sum a_g\lambda_g, \sum b_g\lambda_g\in A$,$\sum a_g\lambda_g+ \sum b_g\lambda_g=\sum(a_g+b_g)\lambda_g\neq \sum 0\lambda_g$. Tomamos $H’’=\{h=\sum h_ne_n\in G\mid a_h+b_h\neq 0\}$ y tomamos $h=\sum h_n e_n\in H’’$. Entonces, para $H’’’=\{h’\in H’’\mid h\preceq \sum h_0e_n\}, \#H’’’\lt \infty.$ El elemento mínimo de $H’’’$ con respecto a $\le$ también es el elemento mínimo de $H$ con respecto a $\le$.

Podemos definir la multiplicación en $A$ como $$(\sum a_g\lambda_g)(\sum b_g\lambda_g)=\underset{g\in G}{\sum}(\underset{h+h’=g}{\sum}a_hb_{h’})\lambda_g$$ por la condición (1). De hecho, la condición (1) y (2) se conservan bajo esta multiplicación de modo que $A$ es un anillo. Para $a\in A\setminus\{0\}$, escribimos $v(a)\in G$ para el elemento mínimo en (2). Definimos $v(0)=+\infty$ por convención. Para este $v$, tenemos: (i) $\forall a_1, \dots, a_n\in A, v(a_1+\dots+a_n)\ge \min_i\{v(a_i)\}.$ (ii)$\forall a_1, a_2\in A,v(a_1a_2)=v(a_1)+v(a_2).$ (iii) Si $v(a)=0, a$ es invertible en $A$. Para ver (iii), si $a=a_0\lambda_{0}+b$, $0\prec v(b)$, entonces $a_0^{-1}(1-(b/a_0)+(b/a_0)^2-\dots)$ está bien definido y es el inverso de $a$. Ten cuidado, $A$ no es un anillo de valoración.

Tomamos $\mu=\sum_{n=0}^\infty e_n, \mu_i=(\sum_{n=0}^\infty e_n) -e_i$ para $i\ge 1$. Definimos $x=\lambda_\mu, x_i= \lambda_{\mu_i}$. Definimos $I=(x-x_iX^i:i=1,2,\dots)\subset A[[X]]$. Es fácil ver que para cualquier $1\le k \lt \infty, x\in I+(X^k)$. Nos gustaría demostrar que $x\notin I$ por contradicción. Supongamos que para $f_i(X)= \sum a_{ij}X^j \in A[[X]], 1\le i\le n, \sum_{i=1}^n f_i(X)(x-x_iX^i)=x.$ Al observar los coeficientes de $X^0$,$ x=(a_{10}+\dots +a_{n0})x, \sum_n 0e_n=v(1)=v(a_{10}+\dots +a_{n0})\ge \min_i \{v(a_{i0})\} \ge \sum_n 0e_n$ por lo que existe al menos un $i$ tal que $v(a_{i0})=\sum 0e_n$, es decir, $a_{i0}^{-1}\in A$, y consecuentemente $f_i$ es invertible en $A[[X]]$. Multiplicando por $f_i^{-1}(X)$, obtenemos $$\sum_{0\le j \le n,j\neq i} f_i^{-1}(X)f_j(X)(x-x_jX^j)+x-x_iX^i=f_i^{-1}(X)x.$$ Al observar los coeficientes de $X^i$,$$\sum_{0\le j \le n,j\neq i}(b_jx+c_jx_j)-dx=x_i.$$ Definimos $v_n$ por $v(y)=\sum_nv_n(y)e_n$. Luego, al observar $b_jx, c_jx_j$ y $dx$ como elementos de $M$, son sumas infinitas de términos de la forma $l_g\lambda_g$, $0\neq l_g\in k, v_i(\lambda_g)\ge 1.$ Por otro lado, dado que $x_i=\lambda_{\mu_i}$, el lado izquierdo debe tener un término de la forma $l_{\mu_i}\lambda_{\mu_i}.$ Pero $v_i(\lambda_{\mu_i})=0,$ contradicción.