1. Sea A un subconjunto compacto en $R^n$. Investigar si la siguiente afirmación es verdadera o no: Si A consiste solo de puntos aislados entonces A es finito.
No pude demostrar mi respuesta. Sabemos que cuando A es un subconjunto compacto entonces es cerrado y acotado. Estaba buscando y encontré que se parece a esta pregunta ¿Es un subconjunto cerrado de puntos aislados en un conjunto compacto necesariamente finito?. Aún no estoy totalmente convencido.
Si los puntos de $A$ están aislados, entonces cada singleton $\{a\}$ es un conjunto abierto en $A$, para todo $a\in A$. Por lo tanto, la colección de estos singletons forma una cobertura abierta de $A$. Por la compacidad de $A$, existe $a_1,\ldots, a_n \in A$ tal que $A = \{a_1\} \cup \cdots \cup \{a_n\}$. Así $A = \{a_1,\ldots, a_n\}$.
Para cada $a \in A$, sea $U_a$ un vecindario abierto de $a$ que no se interseca de otra manera con $A$ (es decir, $U_a \cap A = \{a\}$); esto es posible porque cada $a$ es un punto aislado.
Entonces $\{U_a\}$ es un subcubrimiento abierto de $A$, y dado que $A$ es compacto, hay un subcubrimiento finito. ¿Qué implica esto?
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