¿Son cada dos triángulos en $\mathbb R^n, \mathbb R^m$ afínmente equivalentes?

Question

Me pregunto si cada dos triángulos no degenerados (generados por tres vértices afínmente independientes) $T_1 \subseteq \mathbb R^n$, $T_2 \subseteq \mathbb R^m, n,m \geq 2,$ son afínmente equivalentes, es decir, existe una transformación afín $f:\mathbb R^n \to \mathbb R^m$ con $f(x_i) = f(y_i)$ para cada $i$, donde $x_i, y_i$ son los vértices del triángulo respectivo. Y si es así, ¿es posible especificar tal transformación?

Answer 1

Suponiendo que $T_1$ no es degenerado, $x_2-x_1$ y $x_3-x_1$ son linealmente independientes. Extienda estos dos vectores a una base para $\mathbb R^n$. Luego puede construir una transformación lineal que mapea $x_2-x_1$ a $y_2-y_1$, mapea $x_3-x_1$ a $y_3-y_1$, y mapea los otros vectores de la base a lo que sea que desee.

Combine esto con una traducción apropiada de modo que su mapa afín envíe $x_1$ a $y_1$ y habrá terminado.