Esta es una respuesta casi completa. Actualmente hay una pequeña brecha, en relación con la no degeneración, pero estoy relativamente seguro de que esto se puede solucionar:
tl;dr Si hay $n$ masas, entonces en general, habrá al menos $n-1$ ceros (en 1d precisamente $n-1$ ceros) del campo, todos ellos aislados, dentro de la envoltura convexa de estas masas y ninguno de ellos estable.
Dentro de la envoltura convexa: Esto es fácil de demostrar independientemente de la dimensión. Suponga que hay un hiperplano con todas las masas en un lado y usted en el otro. Entonces la fuerza de cada masa tiene una componente que lo atrae hacia ese plano, por lo que la fuerza total hará lo mismo y no puede ser cero. Tal plano existe precisamente para los puntos que no están en la envoltura convexa.
Para el resto, se deben considerar los ceros como puntos críticos del potencial, al que voy a llamar $\Phi$. Luego, asumiendo que no son degenerados (lo que generalmente no lo son) la llamada teoría de Morse nos dice sobre su número. También tenga en cuenta que puede convertir todas las masas en mínimos finitos sin crear puntos críticos adicionales, ya que cerca de cualquier masa dada su potencial $1/r$ domina todas las demás contribuciones, por lo que puede reemplazarlo en ese nivel con un pozo de potencial finito con un solo mínimo.
1 dimensión: En este caso se puede hacer sin recurrir a herramientas más avanzadas y es algo ilustrativo de la idea: primero note que $\frac{d^2}{dx^2}\frac{-1}{|x|} < 0$ para $x \neq 0$, por lo que $\frac{d^2}{dx^2} \Phi < 0$ y por lo tanto cada punto crítico es un máximo. Ahora es fácil ver que en la línea real los mínimos y máximos necesitan alternar. Así que entre los $n$ mínimos resultantes de las masas hay precisamente $n-1$ máximos, que son todos los puntos críticos.
2 dimensiones: Suponga por ahora que todos los puntos críticos son no degenerados, lo que significa que el hessiano $D^2 \Phi$ tiene solo autovalores no nulos. A partir de esto, automáticamente se obtiene que estos puntos críticos están aislados (aplique el teorema de la función inversa a $D \Phi$), lo que mediante un argumento de compacidad también implica que solo hay finitos de ellos.
A continuación, finalmente necesitamos algo de teoría de Morse: El índice de un punto crítico no degenerado se define como el número de autovalores negativos de $D^2\Phi$. A grosso modo, este es el número de direcciones independientes en las que $\Phi$ es maximal. Entonces un mínimo tiene índice $0$, un máximo tiene índice igual a la dimensión del espacio y todos los puntos de silla tienen un índice en algún punto intermedio. Ahora denotemos por $C_\gamma$ el número de puntos críticos de índice $\gamma$.
Los detalles son un poco complicados, pero el teorema fundamental de la teoría de Morse ahora nos dice que $\sum_{\gamma} (-1)^\gamma C_\gamma = \xi(M)$, donde $\xi(M)$ es la característica de Euler de $M$. En nuestro caso $M= \mathbb{R}^d$ que tiene característica $1$. Asumiendo también que los únicos mínimos son en las masas, entonces obtenemos
$$C_2 - C_1 + n = 1 \Rightarrow C_1 \geq C_1 - C_2 = n-1$$ así que hay al menos $n-1$ puntos críticos de índice $1$ más uno más para cada uno de índice $2$. (Poner todas las masas en una línea no da ninguno de índice $2$, disponerlas en una rejilla, da muchos, pero podría haber un límite superior)
3 dimensiones: Antes de empezar con la teoría de Morse, hagamos algunas ecuaciones diferenciales parciales. En 3 dimensiones, $\frac{1}{|r|}$ resuelve la ecuación de Laplace, por lo que en otras palabras tenemos $\Delta \Phi = 0$ lejos de las masas. El principio del máximo para la ecuación de Laplace luego nos dice que $\Phi$ es constante (lo cual no lo es) o no tiene máximos o mínimos locales (las masas no cuentan, ya que la ecuación ya no se cumple allí). Entonces, si todos los puntos críticos son no degenerados, obtenemos $$ -C_3 + C_2 - C_1 + C_0 = C_2-C_1 + n = 1 $$ igual que antes.
Finalmente necesitamos limpiar algunas suposiciones:
Los puntos críticos 3D son no degenerados: Estoy razonablemente seguro de que esto es así, por algún argumento de EDP que me falta, pero técnicamente esto es una brecha.
Los puntos críticos 2D son no degenerados: Incrustar $\mathbb{R}^2$ como un plano en $\mathbb{R}^3$ y poner todas las masas en ese plano. Luego, por simetría, la derivada normal a ese plano $\partial_n \Phi$ es cero, por lo que los puntos críticos en 2D corresponden a los de 3D y de manera similar, la dirección normal es un autovector. Luego, los otros autovectores están en el plano, por lo que los autovalores de estos en 3D corresponden a los de 2D, por lo que si el punto crítico de 3D es no degenerado, el punto crítico de 2D también lo es.
No hay mínimos adicionales en 2D: Por el mismo argumento de incrustación y la discusión de la envoltura convexa en la parte superior, los puntos críticos son mínimos en dirección normal al plano. Así que si fueran mínimos en el plano, serían mínimos locales en 3D, lo que contradice el principio del máximo.
