Teorema de Wigner-Eckart

Question

El Teorema de Wigner-Eckart establece que en el estado $| j = 1 , m \rangle$ : $$\langle 1 ,m_1| Y^{m_{2}}_1 |1,m_{2}\rangle = \int d\Omega Y^{{*}^{m_1}}_1 Y^{m_2}_{1} Y^{m_3}_{1} = C^{1 1 1}_{m_{1} m_{2} m_{3}} \langle j|| Y^{m_{2}}_1||j\rangle$$

En el caso general, para encontrar $\langle j|| Y^{m_{2}}_1||j\rangle$ ponemos $m_1 = m_2 = m_3 = 0$ y obtenemos:

$$\int d\Omega Y^{{*}^{0}}_1 Y^{0}_{1} Y^{0}_{1} = C^{1 1 1}_{0 0 0} \langle j|| Y^{m_{2}}_1||j\rangle$$

El resultado obtenido de la integración es cero, lo que significa que $\langle j|| Y^{m_{2}}_1||j\rangle$ o $C^{1 1 1}_{0 0 0} = 0$ (el coeficiente de Clebsch-Gordan es cero), según Wolfram $C^{1 1 1}_{0 0 0} = 0$.

Por lo tanto, en este caso el Teorema de Wigner-Eckart no es aplicable porque no podemos encontrar el elemento de matriz $\langle j|| Y^{m_{2}}_1||j\rangle$ o tenemos que establecer el $m$ en algo distinto?

Answer 1

No. Significa $\langle 1\Vert Y^1 \Vert 1 \rangle = 0$. Esto no implica nada acerca de $\langle j \Vert Y^1\Vert j\rangle$ aunque debido a que el CG $C^{j0}_{10;j0}$ es $0$ a menos que $2j+1$ sea par, puedes deducir que $\langle j \Vert Y^1\Vert j\rangle =0$ cuando se aplique este caso.

Debo agregar que el elemento de matriz reducida en realidad es proporcional a $C^{j0}_{10;j0}$ de la ley de composición de armónicos esféricos, y esto es por qué mi conclusión anterior es válida, es decir, la integración de tres armónicos esféricos como tienes, es proporcional a $C^{j_1m_1}_{j_2m_2;j_3m_3} C^{j_10}_{j_20;j_30}$ en general, de modo que sacar el CG dependiente de $m$ te deja con el factor $C^{j_10}_{j_20;j_30}$ con la regla de selección de que esto es $0$ a menos que $j_1+j_2+j_3$ sea par.