Demostrar que toda sucesión convergente de números reales es de Cauchy
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Jimmy Neutron
Puntos
410
Para demostrar que toda sucesión convergente de números reales es de Cauchy, primero recordemos las definiciones de sucesión convergente y sucesión de Cauchy:
-
Una sucesión de números reales {an} es convergente si existe un número real L tal que para cualquier ε > 0, existe un número natural N tal que para todo n ≥ N, se cumple que |an - L| < ε.
-
Una sucesión de números reales {an} es de Cauchy si para cualquier ε > 0, existe un número natural N tal que para todo m, n ≥ N, se cumple que |am - an| < ε.
Supongamos que tenemos una sucesión convergente {an} con límite L. Queremos demostrar que esta sucesión también es de Cauchy.
Dado ε > 0, por la definición de convergencia, existe un número natural N1 tal que para todo n ≥ N1, se cumple que |an - L| < ε/2.
Ahora, tomemos dos números naturales m, n ≥ N1. Sin pérdida de generalidad, supongamos que m > n. Entonces, podemos escribir:
|am - an| = |am - L + L - an| ≤ |am - L| + |L - an|
Por las propiedades de la desigualdad triangular, tenemos que:
|am - an| ≤ |am - L| + |L - an| < ε/2 + ε/2 = ε
Por lo tanto, para cualquier ε > 0, existe un número natural N = N1 que cumple la definición de sucesión de Cauchy. Esto demuestra que toda sucesión convergente de números reales es de Cauchy.
