Encuentra la ecuación del círculo medio

Question

El diagrama a continuación muestra 3 círculos con 3 centros A, B y C y están alineados.

Las ecuaciones de las circunferencias de los círculos exteriores son

${(x + 12)^2 + (y + 15)^2 = 25}$

y

${(x - 24)^2 + (y - 12)^2 = 100}$

La pregunta es encontrar la ecuación del círculo central.

Puedo decir que los centros de los 2 círculos son (-12, -15) y (24, 12)

Usando la fórmula de distancia puedo decir que la distancia entre AC es 45 y por lo tanto el radio es 15 al restar los otros 2 radios.

No estoy seguro de cómo obtener las coordenadas del círculo central. No es el punto medio.

La pendiente es ${3\over 4}$. ¿Debería usar esto de alguna manera para encontrar el centro del círculo central?

Answer 1

$\bar{AB} = 5 + 15 = 20$ y por lo tanto $B$ está $20/45 = 4/9$ del camino hacia arriba, entonces debe ser que sus coordenadas son $B_x = -12 + 36*4/9$ y $B_y = -15 + 27*4/9$.

Answer 2

Consejo: Sabemos de las ecuaciones que $$ A=(-12,-15)\qquad\text{y}\qquad C=(24,12) $$La distancia entre $A$ y $C$ es $\sqrt{36^2+27^2}=45$.

El radio del círculo alrededor de $A$ es $5$.

El radio del círculo alrededor de $C$ es $10$.

Eso deja $30$ como el diámetro del círculo alrededor de $B$.

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Por lo tanto, la distancia de $A$ a $B$ es $5+15=20$ y la distancia de $B$ a $C$ es $10+15=25$.

Así, $$ \left(C_x-B_x\right)+\left(B_x-A_x\right)=C_x-A_x=36 $$Además, la distancia en $x$ entre los centros está en la misma proporción que la distancia entre los centros: $$ \frac{C_x-B_x}{B_x-A_x}=\frac{25}{20} $$Lo mismo ocurre con las coordenadas $y$: $$ \left(C_y-B_y\right)+\left(B_y-A_y\right)=C_y-A_y=27 $$y $$ \frac{C_y-B_y}{B_y-A_y}=\frac{25}{20} $$Ahora puedes calcular $B_x$ y $B_y$.

Answer 3

Aquí hay un método geométrico simple para encontrar las coordenadas de $B$ usando triángulos rectángulos similares (algunas de las otras respuestas utilizan esto, pero no explican que lo están haciendo y omiten algunos pasos).

Entonces sabemos que el punto $A$ está en $(-12, -15)$ y el punto $C$ está en $(24,12)$. También observamos que el radio del círculo $A$ es $5$ y el radio del círculo $C$ es $10$. Como dijiste, la distancia es $45$, por lo que el diámetro del círculo $B$ debe ser $30$ (obteniendo el radio más importante de $15$). Luego imaginamos un triángulo rectángulo con la hipotenusa $\overline{AB}$ y una pata horizontal paralela al eje $x$ (la otra pata es obviamente paralela al eje $y$). Luego notamos que los dos triángulos son similares. Concluimos entonces que $${\;\;\overline{AB}\;\; \above 1pt \;\;\overline{AC}\;\;} = {\;\;\overline{AB}_x\;\; \above 1pt \;\;\overline{AC}_x\;\;} \qquad \text{y} \qquad {\;\;\overline{AB}\;\; \above 1pt \;\;\overline{AC}\;\;} = {\;\;\overline{AB}_y\;\; \above 1pt \;\;\overline{AC}_y\;\;}$$ Podemos ver que $\overline{AB} = 20$, $\overline{AC} = 45$, y $\overline{AC}_x = 36$ de nuestros cálculos anteriores, y un poco de aritmética nos da $\color{red}{\overline{AB}_x = 16}$. Usando $\overline{AC}_y = 27$, luego encontramos que $\color{red}{\overline{AB}_y = 12}.

Obtenemos $B_x$ tomando $A_x + \overline{AB}_x = -12 + 6 = \color{red}{4 = B_x}$
Obtenemos $B_y$ tomando $A_y + \overline{AB}_y = -15 + 12 = \color{red}{-3 = B_y}$.
Por lo tanto, obtenemos nuestra respuesta usando las coordenadas del centro y el radio, obteniendo
$$\color{red}{(y+3)^2 + (x-4)^2 = 15^2}$$

Aquí hay una imagen que hice rápidamente en paint para clarificar (¡esperemos... no es el mejor dibujo!)