¿Es posible calcular la varianza sin calcular primero la media?

Question

Tengo una lista de valores de una variable aleatoria $x \in \mathbb R$. ¿Es posible encontrar la varianza $\overline{(x - \overline x)^2}$ sin calcular primero la media $\overline x$? Es decir, procesar la lista solo una vez.

Answer 1

Puedes utilizar que la varianza es $\overline{x^2} - \overline{x}^2$, lo cual requiere solo un paso (calcular la media y la media de los cuadrados simultáneamente), pero puede ser más propenso a errores de redondeo si la varianza es pequeña en comparación con la media.

Answer 2

¿Qué tal la suma de diferencias al cuadrado entre pares? De hecho, puedes comprobar mediante cálculos directos que

$$ 2v_X = \frac{1}{n(n-1)}\sum_{1 \le i < j \le n}(x_i - x_j)^2. $$

Nota: Esto no pretende ser eficiente, solo otra forma de representar la varianza, sin tener que calcular primero la media.

Answer 3

La varianza de la muestra con media se calcula como: $$ v_{X}=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-\overline{x})^{2} $$ Y la varianza de la muestra sin media como: $$ v_{X}=\frac{1}{n-1}\left [ \sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}-\frac{1}{n}\left ( \sum_{i=1}^{n}x_{i} \right ) ^{2}\right ] $$