¿Lo que ' s con resolución de ecuaciones de valor absoluto de esta manera?

Question

Decir que tengo $3x-2 = |x|$. Por qué no puedo simplemente hacer esto:

$3x - 2 = -x$ and $3x - 2 = x$

¿y para obtener dos valores de $x$: $1$ y $0.5$? Sé que la respuesta $0.5$ no funciona si se conecta este. ¿Sin embargo, no entiendo por qué no podemos resolver la ecuación como esta?

Answer 1

El método de solución que usted ha seguido una interpretación gráfica. Si se hace un gráfico de las líneas de $y = 3x - 2$$y = x$, su intersección dará a uno de los valores de $x$ su método se encuentra (en concreto, donde $3x - 2 = x$). La intersección de las líneas de $y = 3x - 2$ $y = -x$ da su otro valor de $x$:

Es decir, $x = 1$ en la intersección con la línea de $y =x$, e $x = 1/2$ en la intersección con la línea de $y=-x$. Sólo hay un problema: la gráfica de la función $y = |x|$ incluye sólo las partes de las líneas de $y=x$ $y=-x$ color negro sólido en el siguiente diagrama:

Así que podemos ver que sólo una de las dos intersecciones que en realidad está en la gráfica de $y = |x|$, y esta es la única solución válida para la ecuación de $3x-2 = |x|.$

Una manera de ver esto es la intersección con $y = x$ es válido sólo si se produce por $x \ge 0$, mientras que la intersección con la a $y = -x$ es válido sólo si se produce por $x \le 0$. Otra manera de ver esto es que la intersección es válido sólo si $y \ge 0$.

Si usted ha estado tratando de resolver diferentes ecuación, sin embargo, podría haber conseguido dos soluciones. Por ejemplo, considere la ecuación de $\dfrac{x+2}{3} = |x|$, resuelve gráficamente a continuación. En este caso tanto de las intersecciones con las líneas de $y = x$ $y = -x$ se producen en el "correcto" partes de esas líneas.

Answer 2

El procedimiento es correcto, mientras que usted compruebe los candidatos así obtenido para si en efecto el trabajo.

Comentario: Aunque el procedimiento es en principio correcta, no puede ser algo malo con el uso de la misma. Considere la ecuación $$|x-1|+|x-2|+|x-3|+\cdots +|x-10|=K,\tag{1}$$ donde $K$ es algo de lo especificado constante. Si el cambio de signos en todas las formas posibles, obtendrá $2^{10}$ ecuaciones. Casi todos ellos se refieren a situaciones imposibles, por ejemplo a $x-3$ negativo, $x-4$ positivo, con el resto elegido en la forma que usted desee. Por lo que casi todos, o incluso todas las ecuaciones se producirá "soluciones" que, en la comprobación, resultan no ser las soluciones del problema original.

La conclusión es que en las ecuaciones (1), el procedimiento utilizado puede ser muy ineficiente. Sin embargo, cuando hay uno o dos valor absoluto de los signos, su procedimiento es eficiente. Y es una protección contra el error común de la falta de una solución.

Answer 3

Cuando se trabaja con valores absolutos, es una buena idea para romper la solución en casos como este:

Si $x \ge 0:$

$$3x-2=x$$

$$x=1$$

Si $x < 0:$

$$3x-2=-x$$

$$x=0.5$$

Tenga en cuenta que $x=0.5$ no satisface el requisito inicial para este caso, debido a que $x$ debe ser menor que $0$.

De esta manera, aunque todavía se encuentra un valor de $x$ que no aceptó, utiliza un más riguroso (e infalible) de la captura de estos valores, en lugar de confiar en su propio número de comprobación al final de su pregunta. Si la pregunta que participan más términos de valor absoluto, entonces usted podría dividirlo en varias partes:

$$|x-2| + x = |4x-1|$$

Los casos que corresponda a considerar aquí sería:

1. $x-2<0$ o $x<2$
2. $x-2\ge 0$ o $x\ge2$
3. $4x-1 < 0$ o $x<\frac 1 4$
4. $4x-1 \ge 0$ o $x \ge \frac 1 4$

Estos pueden ser combinados en los casos de $x<\frac 1 4$, $\frac 1 4 \le x \le 2$, y $2 \le x$.

Answer 4

Usted ciertamente puede, pero es necesario entender lo que está haciendo. Cuando escribes que $|x|=-x $, están asumiendo que $ x <0$; entonces la solución de $ x=1/2$ es incoherente (se obtuvo en el supuesto de $ x <0$) y debe ser desechado.

Answer 5

También podemos entender la falta de una segunda solución geométricamente. La línea de $ \ y \ = \ 3x \ - \ 2 \ $ tiene una pendiente de $ \ 3 \ $ con su $ \ y-$ interceptar por debajo del origen. Así, por $ \ x \ < \ 0 \ $ , esta línea está por debajo de la $ \ y-$ eje, mientras que la gráfica de la función valor absoluto es totalmente por encima de ese eje. La pendiente de la función de valor absoluto de un gráfico para $ \ x \ > \ 0 \ $$ \ +1 \ $ , por lo que la línea más inclinada, $ \ y \ = \ 3x \ - \ 2 \ $ se cruzan, pero sólo en el punto uno.