Considere un oscilador armónico simple de masa unitaria, frecuencia natural $\omega_0$, dado por el Hamiltoniano \begin{align} H_0(q,p)=\frac{1}{2} \left[ p^2 + \omega_0^2 q^2 \right] \ . \end{align} Ahora imagina cambiar la frecuencia natural lentamente, es decir, el Hamiltoniano se convierte en, \begin{align} H(q,p,t)=\frac{1}{2} \left[ p^2 + \omega(t)^2 q^2 \right] \ , \end{align} donde $\omega(t)$ es una función lentamente variable en el tiempo, con $\omega(0)=\omega_0$ (Un ejemplo bien conocido es cambiar lentamente la longitud de un péndulo simple). Entonces sabemos que la variable de acción, \begin{align} I(t) = \frac{1}{2 \pi} \oint d q \; p = \frac{H(t)}{\omega(t)} \end{align} es aproximadamente una constante. Más precisamente, si \begin{align} \frac{1}{\omega^2} \frac{d \omega}{dt} = \epsilon \ll 1 \ , \end{align} Entonces se puede demostrar (ver, por ejemplo, "Métodos matemáticos de la mecánica clásica" de Arnold, Sec 52 E, p 298-300) que el cambio en $H/\omega$ es de orden $O(\epsilon)$ sobre intervalos de tiempo $0< t < (\omega_0 \epsilon)^{-1}$.
Con este contexto, mi pregunta es la siguiente: Supongamos que $\omega(t)^2$ es sinusoidal, es decir, $\omega(t)^2 = \omega_0^2 (1 + \epsilon \sin(\nu t))$. Si la frecuencia asociada con el cambio de $\omega$ es la misma que la frecuencia natural $\omega_0$, es decir, $\nu = \omega_0$, ¿se rompe la invarianza adiabática? En caso afirmativo, ¿cuál es el supuesto implícito hecho para la invarianza adiabática, que se viola en este caso?
En el libro de Arnold, "Métodos geométricos en la teoría de las EDOs", Sec 20 , p 170-171, hay una discusión sobre el problema siendo complicado en caso de múltiples frecuencias naturales que son resonantes. Sin embargo, mi pregunta se refiere a un sistema con una sola frecuencia natural que es impulsada a la misma frecuencia, por lo tanto, no me queda claro cómo esa discusión es aplicable aquí.
