Problema de Recurrencia Difícil

Question

Encuentra todos los enteros $n\geq 3$ para los cuales existen números reales $a_{1}, a_{2},...,a_{n+2}$ que satisfacen $a_{n+1}=a_{1}$, $a_{n+2}=a_{2}$ y:

$a_{i}a_{i+1}+1=a_{i+2}$

para $i=1,2,..,n$

Answer 1

Pista.

Resolviendo hacia atrás tenemos para

$$\begin{cases} n=2\to \{2,-1,-1,2\}\\ n=5\to \{2,-1,-1,2,\frac 12,-1,2\}\\ n=8\to \{2,-1,-1,2,\frac 12,-1,2,\frac 12,-1,2\}\\ \vdots\\ n=2+3k\to \{2,-1,\underbrace{-1,2,\frac 12}_{k},-1,2\} \end{cases}$$

NOTA

Las soluciones reales surgen de

$$\left\{ \begin{array}{rcl} a_1&=&\frac{a_2-1}{a_1} \\ a_2&=&1-\frac{a_1}{a_2-1} \\ \end{array} \right.$$

las otras posibilidades

$$\left\{ \begin{array}{c} a_1=1-\frac{a_1}{a_2-1} \\ a_2=\frac{a_1}{a_1-a_2+1} \\ \end{array} \right. \ \ \text{y}\ \ \left\{ \begin{array}{c} a_1=\frac{a_1}{a_1-a_2+1} \\ a_2=\frac{a_2-1}{a_1} \\ \end{array} \right.$$

no tienen soluciones reales.