Encontrar la función de masa de probabilidad conjunta

Question

Un contenedor de 4 bombillas tiene 2 defectuosas. Suponga que saca repetidamente (sin reemplazo) una bombilla del contenedor y las prueba. Sea $N_1$ la posición (en [1..4]) de la primera bombilla defectuosa encontrada y sea $N_2$ la posición (en [1..4], con $N_2 > N_1$) de la segunda bombilla defectuosa encontrada. Calcule la p.m.f. conjunta de $X = N_1$ e $Y = N_2N_1$, y las p.m.f. marginales para $X$ e $Y$.

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Solo para aclarar: ¿Cuál es la definición de posición en esta pregunta? ¿Es el número de pruebas realizadas hasta que se encuentra la primera bombilla defectuosa?

Mi intento: Bueno, solo hay $4\choose2$ formas de elegir 2 bombillas defectuosas de un grupo de 4.

P.m.f. conjunta: P(X,Y) = $\frac{1}{6} * \frac{1}{2} = \frac{1}{12}$?

Pero estoy confundido porque...

mala, mala, buena, buena = $\frac{1}{4} *\frac{1}{3} *\frac{1}{2} * 1 = \frac{1}{24}$

mala, buena, mala, buena = $\frac{1}{4} *\frac{2}{3} *\frac{1}{2} * 1 = \frac{1}{12}$

Para este tipo de pregunta, ¿hay algún tipo específico de distribución de probabilidad que podría usar? (por ejemplo, distribución hipergeométrica, distribución binomial negativa.)

Agradecería cualquier consejo/guía/ayuda sobre cómo abordar esta pregunta. Gracias.

Answer 1

En lugar de buscar fórmulas, hagamos cálculos. Después de todo, solo hay $4$ bombillas en el juego.

Primero calculamos $\Pr(X=1,Y=1)$. Para que esto suceda, debemos obtener una mala, luego una mala. La probabilidad de que la primera sea mala es $\frac{2}{4}$. Dado que la primera es mala, la probabilidad de que la segunda sea mala es $\frac{1}{3}$. Así que $\Pr(X=1,Y=1)=\frac{1}{6}$.

A continuación, calculamos $\Pr(X=1,Y=2)$. Debemos obtener mala, buena, mala. Esto tiene una probabilidad de $\frac{2}{4}\cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{1}{2}$.

Podemos usar la distribución conjunta para calcular los márgenes. Pero en este caso es igual de fácil empezar de nuevo. Para $X$, queremos $\Pr(X=1)$, $\Pr(X=2)$, $\Pr(X=3)$, y cosas similares para $Y$.

Por ejemplo, el evento $Y=2$ puede ocurrir de dos maneras, mala, buena, mala y buena, mala, buena, mala. Encuentra la probabilidad de cada una y suma.

Answer 2

Estás buscando: $\mathsf P(N_1=n, N_2-N_1=m)$ que es la probabilidad de que la extracción $n$ sea la primera bombilla defectuosa, y la extracción $n+m$ sea la segunda bombilla defectuosa.

¿Cuántas formas igualmente probables hay de organizar las bombillas y cada arreglo corresponde a un par distinto de valores $(N_1, N_2)$?

$$\begin{align} \mathsf P(X=n, Y=m) ~=~ & \mathsf P(N_1=n, N_2-N_1=m) \\[1ex]~=~& \mathsf P(N_1=n, N_2=m+n)\\[1ex] ~=~& \boxed{?}\quad \Big[n\in\{1,2,3\}, m\in\{1,..,4-n\} \Big]\end{align}$$