Escenario de intersección de esferas de FLATLAND, explorado para cuatro dimensiones

Question

Recientemente terminé esta maravillosa nueva edición vintage de FLATLAND.

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En 1884, Edwin Abbott escribió esta extraña y encantadora novela llamada FLATLAND, en la que un cuadrado que vive en un mundo bidimensional llega a comprender la existencia de una tercera dimensión pero no logra persuadir a sus compatriotas de su descubrimiento. A través del libro, Abbott criticó los valores jerárquicos victorianos mientras daba una visión de las matemáticas de dimensiones superiores.

Hay en un lugar una descripción muy interesante de cómo las personas de FLATLAND observarían la intersección de una esfera a través de su plano - es decir, como el estallido de un punto que se expande como un círculo y luego se contrae nuevamente a un punto y desaparece.

Mi pregunta es doble:

(1) Estoy buscando con mucha emoción literatura - y me refiero tanto a ficción como a referencias matemáticas académicas - donde se describa el mismo concepto para un mundo tridimensional (geometría). ¿Cuáles son los escenarios para un mundo tridimensional que experimenta la intersección de una "hiper"-esfera de cuatro dimensiones?

(2) Más allá de las referencias, cualquier "intuición" matemática (incluidas incluso ideas esbozadas) para escenarios también sería de interés para mí?

Estoy muy agradecido por sus ideas.

Gracias

Answer 1

He pensado mucho sobre este tema hace algunos años, algunas de estas cosas son bastante fáciles de mostrar.

No tengo referencias, sin embargo, con algunos cálculos puedes deducir cómo se ve cuando interseccionas ciertas formas de cuatro dimensiones con un espacio tridimensional.

Las que puedo hacer sin depender de la intuición son simples, como el equivalente de cuatro dimensiones de una esfera o un cono. Voy a demostrar la esfera ahora.

Permitamos que w represente una nueva dirección espacial ortogonal a los ejes x, y, y z en el plano de coordenadas cartesianas habitual. La ecuación para el equivalente de cuatro dimensiones de una esfera centrada en el origen con un radio de 1 es la siguiente: $$ x^2+y^2+z^2+w^2=1 $$ Es fácil imaginar esta forma intersecando con un plano tridimensional donde w=0 a medida que pasa a través, pero las matemáticas reales parecen complicadas. En su lugar, veamos desde la perspectiva de esta forma de cuatro dimensiones. Imagina que un espacio tridimensional se mueve a través de ella a una velocidad de 1 unidad por segundo. Comencemos este movimiento cuando w=-1 y termínalo en 1, de modo que todo el proceso tome 2 segundos en completarse. La forma cuando w=-1 es la siguiente.

$$ x^2+y^2+z^2+(-1)^2=1\\ x^2+y^2+z^2+1=1\\ x^2+y^2+z^2=0 $$

La única solución a la ecuación anterior es: $$(0,0,0)$$ O, simplemente un único punto matemático en el espacio tridimensional.

Cuando w=1, la misma situación se presenta. Examinemos qué sucede cuando w es una constante entre -1 y 1.

$$ x^2+y^2+z^2+w^2=1\\ $$ Desplacemos las constantes a un lado. $$ 1-w^2=x^2+y^2+z^2\\ $$ Puede ser difícil de ver, pero si w se considera una constante, esta es la ecuación de una esfera tridimensional. El radio de esta esfera comienza en 0 cuando w=-1 (así que comienza como un punto matemático) y aumenta hasta un máximo de 1 cuando w=0. Cuando el centro de la esfera de cuatro dimensiones atraviesa el espacio tridimensional, la intersección alcanza su radio máximo y luego disminuye nuevamente. Cuando w=1, la intersección se reduce nuevamente a un punto, y desaparece cuando w>1.

Puedes descubrir más sobre cómo esta forma cambia a medida que atraviesa realizando un análisis en las ecuaciones anteriores. Si las matemáticas son demasiado complicadas, simplemente trata de pensar en lo que sucede en un nivel tridimensional y redimensiona una dimensión. El resultado es efectivamente el mismo.