Vela solar, fuerza estimada

Question

Estoy tratando de obtener una estimación de cuánta fuerza se aplica sobre una vela solar por la radiación solar.

Entonces, la primera pregunta es ¿colisión elástica o inelástica? Una colisión elástica proporciona un cambio en el momentum de 2p, mientras que una colisión inelástica tendría un cambio en el momentum de p.

Los fotones no tienen masa, por lo que $p = \frac{\text{E}}{c}$.

Entonces 2p debería ser el impulso que una partícula le da a la vela en no sé cuánto tiempo. Hice una suposición salvaje de 0.001s y al buscar la energía de un fotón y que alrededor de 2e24 fotones golpearían la vela por segundo. Haciendo impulso/tiempo, he calculado que la fuerza sería alrededor de 6 a 7 N. Sin embargo, no tengo idea si eso es una buena aproximación. En Wikipedia dicen que una vela cuadrada de 800 m atraparía alrededor de 5 N de fuerza.

Answer 1

Estás complicándote la vida pensando en términos de fotones. Sí, en principio puedes decir que el momento llevado por un fotón es $E/c$, donde $E$ es la energía del fotón, y luego puedes decir que para una reflexión perfecta, hay un intercambio de momento con la vela de $2E/c$. Luego multiplica por cuántos fotones golpean la vela por segundo y ahí está tu respuesta. El problema es que el Sol emite fotones con un espectro de energías. Volveré a este enfoque al final, pero aquí hay uno más fácil.

El momento por segundo llevado por la radiación también puede escribirse como $$ F = \frac{1}{c} \int \vec{S} \cdot d\vec{A}, $$ donde $\vec{S}$ es el vector de Poynting (la potencia por unidad de área) llevado por la radiación y se integra sobre el área de la vela. Para una reflexión perfecta, multiplicas esta expresión por 2 para dar la fuerza neta ejercida sobre la vela.

El vector de Poynting del Sol es simplemente $$ \vec{S} = \frac{L}{4 \pi r^2} \hat{r},$$ donde $L$ es la luminosidad total del Sol, $r$ es la distancia desde el Sol y apunta radialmente lejos del Sol. Así que $$F_{viento} = \frac{2}{c} \frac{L}{4\pi r^2} A \cos \theta,$$ donde $A \cos \theta$ es el área proyectada de la vela ($\theta$ es el ángulo entre la normal al área de la vela y el Sol).

Supongamos $r=1.5 \times 10^{11}$ m, $L= 3.83\times10^{26}$ W, $A=6.4\times 10^5$ m$^2$ (la página de wikipedia dice que la vela tiene 800 m de lado) y $\theta=0$. En este caso, obtengo $F_{viento} = 5.8$ Newtons.

Volviendo a los fotones. El espectro solar está dominado por luz visible. Si hacemos la suposición de que todos los fotones solares son visibles, con una longitud de onda de 500 nm, entonces cada fotón lleva $4 \times 10^{-19}$ J. El Sol debe emitir aproximadamente $9.6 \times 10^{44}$ de estos por segundo. A una distancia $r$ del Sol, la vela intercepta una fracción $A/4\pi r^2$ de estos fotones y recibe un momento $2E/c$ de cada uno. Usando $A=6.4\times 10^{5}$ m$^2$ y $r=1.5\times10^{11}$ m nuevamente, obtengo que el momento intercambiado por segundo ($F_{viento}$) es de $5.8$ Newtons, como antes.

Answer 2

Un problema similar es el de un flujo de balas golpeando a superman. Por la ley de conservación del momento, es cierto que el cambio en el momento por bala es $\Delta p = 2p$. Si el flujo se da en $\frac{n \text{ balas}}{\text{minuto}}$, puedo calcular el cambio en el momento por bala luego multiplicar por n balas y dividir por los minutos (convertidos a segundos) dados para encontrar F.

En el caso de la vela solar tenía dos piezas de información: el flujo en fotones por segundo y la energía de un fotón. Pero $F = \frac{\Delta p}{\Delta t}$ daba un F con un orden de magnitud de $10^{-3}$, lo cual es demasiado bajo. Sospecho que los datos estaban incorrectos, los fotones por segundo deberían haber sido fotones por minuto o algo así.

En cualquier caso, el problema es unidimensional, por lo que no se discute el área de impacto.

Answer 3

No sé si esta es la forma correcta de hacerlo, pero aquí va.

Empezaría usando la ecuación $$p=\frac{E}{c}$$ para encontrar el momento del fotón, y luego aplicaría la ley de conservación del momento para encontrar la velocidad resultante de tu vela...

Ejemplo:

$p_{fotón}=1kg*m/s$ (por simplicidad, no es un valor realista)

$m_{vela}=10kg$

luego aplicando la ley de conservación del momento:

$$p_{fotón}=p_{vela}$$ $$p_{vela}=mv$$ $$v=\frac{p_{vela}}{m}$$ $$v=\frac{1kg*m/s}{10kg}$$ $$v=0.1m/s$$

y luego averiguar la velocidad a la que los fotones están golpeando la vela por período de tiempo para calcular el número total de impactos de fotones...

$t=10s$

$r=10,000fotones/segundo$ (de nuevo, no es un valor realista) Edit: Esto es a través de toda el área de la vela. Obviamente, una vela realista con un número realista de impactos de fotones tendría un valor mucho más alto aquí.

$$N_{fotones}=fotones/segundo*segundos$$ $$N_{fotones}=100,000fotones$$

averiguar el aumento total de velocidad durante un período de tiempo, y luego usar $F=ma$ para resolver la fuerza. $$a_{vela}=\frac{10,000m/s}{10s}$$ $$a_{vela}=1,000m/s^2$$ $$F_{fotones}=m_{vela}a_{vela}$$ $$F_{fotones}=10,000N$$ Realmente, el momento del fotón debería ser órdenes de magnitud más pequeño y, por lo tanto, la fuerza también debería ser más pequeña. ¡Espero que eso ayude!