¿Cómo encontrar una función diferenciable con derivada acotada que satisfaga algunas condiciones de contorno?

Question

Estoy tratando de encontrar un ejemplo, preferiblemente explícito, de una función diferenciable $g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ que satisfaga las siguientes condiciones:

• $\displaystyle g(0)=0, g(1)=1, g(-1)=-1;$

• $\displaystyle g^\prime(1)=g^\prime(-1)=\frac{1}{2};$

• $\displaystyle g^\prime(x)\geq\frac{1}{2} \quad \forall x\in [-1,1].$

La función $g(x)=x$ satisface la primera y la última condición, pero necesitamos modificarla, al menos localmente alrededor de los puntos $x=\pm1$, para cumplir con las restricciones sobre las derivadas en los extremos. Es plausible que esto se pueda hacer con algunas funciones de modificación aditiva suaves, pero los ejemplos explícitos pueden no ser fáciles de encontrar.

Answer 1

Siguiendo el útil consejo de $\textbf{Gerry Myerson}$ damos la solución de mi pregunta. Sea $g(x)=a\arctan(bx)$. Elegiremos $a,b\in \mathbb{R}$ que cumplan con las condiciones dadas. Observamos que $$ \begin{cases} g(0)=0&\\ g(1)=1&\\ g(-1)=-1& \end{cases} \Longleftrightarrow \quad a\arctan(b)=1. $$ y $$ g^{\prime}(x)=\frac{ab}{1+b^2x^2}\geq \frac{ab}{1+b^2}=g^{\prime}(1)=g^{\prime}(-1) \quad \forall x\in [-1,1], \forall a,b>0 $$ Por lo tanto, para lograr nuestro objetivo es suficiente elegir $a,b>0$ de manera que $$ \textbf{(I)}\quad \begin{cases} a\arctan(b)=1,&\\ \frac{ab}{1+b^2}=\frac{1}{2}.& \end{cases} $$ Sea $$ h(b)=\displaystyle\frac{2b}{1+b^2}-\arctan(b), \quad b\in (0, +\infty) $$ Dado que $h(b)$ es continua en $(0, +\infty)$, $h(1)=1-\frac{\pi}{4}>0$ y $$ \lim_{b\rightarrow +\infty}h(b)=-\frac{\pi}{2}<0 $$ existe $b>0$ tal que $h(b)=0$. Por lo tanto, existen $a,b >0$ que cumplen con $\textbf{(I)}$.

Answer 2

Concéntrese en construir la derivada $h=g'$ primero. Debe cumplir con ciertos requisitos: $\int_0^1 h =1 = \int_{-1}^0 h$, etc., pero todos estos pueden ser cumplidos con una función lineal por partes con puntos de quiebre en $0,-1,1$. Luego integre y obtenga $g$.

Answer 3

El candidato $g(x)=x$ es por lo demás aceptable, pero no cumple con las condiciones $g'(\pm1)=1/2$. Una idea natural es agregar un término que se anule en $x=0$ y $x=\pm1$, pero que corrija los valores de esas derivadas.

El polinomio $r(x)=x^3-x$ es la función más simple que se anula en los puntos críticos $x=0,x=\pm1$. No hay garantía de que utilizar su múltiplo como término de corrección funcione, pero, ¡sorpresa!

• La derivada $r'(x)=3x^2-1$ toma el valor $2$ en ambos puntos $x=\pm1$.
• Entonces el polinomio $$ g(x)=x-\frac14r(x)=\frac54x-\frac14x^3$$ tiene la derivada correcta en los puntos $x=\pm1$ y el valor correcto en los puntos $x=0$, $x=\pm1$.
• Además, $$g'(x)=\frac54-\frac34x^2\ge\frac54-\frac34=\frac12$$ para todo $x\in[-1,1]$.

La gráfica de este polinomio $g(x)$ seguramente se asemeja a la imagen que cualquiera que haya pensado en esta pregunta tenía en mente.

Answer 4

Es posible que puedas encontrar valores de $a$ y $b$ tales que $y=a\arctan bx$ funcione.

Answer 5

Usando el Teorema Fundamental sabes que $\displaystyle\int_{-1}^1 g'(x) dx = 2.$ Al graficar los puntos conocidos de $g'$ junto con la restricción, se ve que la mitad de esta área está contenida en una caja rectangular. La otra mitad se obtiene fácilmente construyendo un triángulo isósceles de área uno para colocarlo en la parte superior. Puedes comprobar que el $g$ resultante tiene las propiedades deseadas restantes.