Supongamos que $A$ es una matriz $n \times n$, entiendo que 2 matrices $A, B$ son similares si y solo si existe una matriz invertible $Q$ tal que $A = Q^{-1}BQ$, entonces, si $B$ ya es una matriz triangular superior, ¿afecta $Q^{-1}BQ$ a $B$ y hace que deje de ser triangular superior?
Respuestas
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Chris Ballance
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Para cualquier campo, si $A$ es una matriz triangular inferior, entonces $B=PAP^{-1}$ es triangular superior cuando $P=P^{-1}$ es la matriz de reversión obtenida al voltear la identidad de izquierda a derecha. Por lo tanto, la respuesta a tu pregunta en el título es no.
En cuanto a tu otra pregunta, si eliges un $Q$ arbitrario, puede romper la triangularidad. Sin embargo, en la triangularización, el $Q$ que elegimos no es arbitrario sino que depende de la matriz a triangularizar. Por ejemplo, cuando $B$ ya es triangular, simplemente puedes elegir $Q=I$. Luego $A(=B)=Q^{-1}BQ$ es triangular.
Christiaan Hattingh
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Sobre el campo $\mathbb{C}$, mediante la descomposición de Schur, $A$ no necesita ser triangular superior para que sea similar a una matriz triangular superior.
Para generalizar a otros campos, como se indica en los comentarios: si una matriz es diagonalizable, entonces es similar a una matriz triangular superior. Entonces de nuevo no, $A$ no necesita ser triangular superior.
Aquí hay algunos otros posts/artículos interesantes: Condiciones para la descomposición de Schur y su generalización
http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0024379597800079
