Encuentra el volumen de la región delimitada por $y= \frac{\ln{x}}{x^2}$, $y=0$, $x=1$, y $x=2$ al ser girada alrededor del eje y. Indica qué método usar.
Creo que debería usar cortes verticales. Lo cual podría significar que tengo que usar el método de las cáscaras. Pero simplemente no estoy seguro por dónde empezar. He dibujado mi gráfico pero ahora estoy atascado. Cualquier ayuda sería apreciada.
Sí, el Método de Caparazones parece ser el más natural para usar. Observa una delgada rebanada vertical, "en" $x$, y de ancho "$dx$." Rótala alrededor del eje $y$. Esto genera una cáscara de volumen aproximadamente $2\pi x y\,dx$. Aquí $y=\frac{\ln x}{x^2}$. "Suma" (integra) desde $x=1$ hasta $x=2.
Así que nuestro volumen es $$\int_1^2 2\pi x\frac{\ln x}{x^2}\,dx.$$ Haz la cancelación obvia. Luego, para la integración, deja $u=\ln x$.
Nota: Hacerlo tomando rebanadas perpendiculares al eje $y$ es muy desagradable de configurar. Un bosquejo de la curva te mostrará por qué. Terminamos queriendo integrar con respecto a $y$, y parece como si tuviéramos que tomar la ecuación $y=\frac{\ln x}{x^2}$, y resolver para $x$ en términos de $y$, una tarea desesperada.
De hecho, se puede trabajar alrededor del problema haciendo un cambio de variable apropiado. Pero los detalles no son fáciles.
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