¿Por qué es la derivada la multiplicación por frecuencia en la transformada de Laplace?

Question

¿Por qué la derivada en el dominio del tiempo es equivalente a la multiplicación por la frecuencia ($s$) en la transformada de Laplace?

¿Por qué la integral en el dominio del tiempo es equivalente a la división por la frecuencia ($\frac{1}{s}$) en la transformada de Laplace?

De manera intuitiva, pensé que la razón era que la frecuencia era una especie de "tasa de cambio", por lo que de alguna manera era equivalente a $\frac{df}{dt}$. La transformada de Laplace convierte la tasa de cambio en una variable ($s) y mantiene constante esa tasa de cambio a lo largo del problema, lo que hace posibles las manipulaciones algebraicas en el dominio de la frecuencia.

¿Estoy en el camino correcto?

Answer 1

Análisis de dimensiones!

Si $t$ es una unidad de tiempo, $ts$ debe ser adimensional para que $\mathrm e^{-ts}$ exista, por lo tanto, $s$ es el inverso de un tiempo. Dado que la derivada de $f$ es un límite de cocientes de valores de $f$ divididos por tiempos, $f'$ tiene la dimensión de $f$ veces $s$ y su integral debería tener la dimensión de la integral similar de $f$ veces $s$. Es decir, la transformada de Laplace de $f'$ debería tener la dimensión de $s$ veces la transformada de Laplace de $f$. Lo mismo para la integral de $f$, que tiene la dimensión de $t$ veces la dimensión de $f, por lo tanto, la transformada de Laplace de la integral de $f$ debería tener la dimensión de $s^{-1}$ veces la transformada de Laplace de $f..

Answer 2

Una forma de recordarlo es pensar en la integral en la fórmula inversa como una especie de suma (completamente no rigurosa aquí):

$$ f(t) = c_1 e^{s_1 t} + c_2 e^{s_2 t} + c_3 e^{s_3 t} + \cdots $$

Aquí el coeficiente $c_1$ es proporcional a la transformada de Laplace en $s_1$, y así sucesivamente. Luego, dado que la derivada de $e^{st}$ respecto a $t$ es $se^{st}$, obtienes que los coeficientes en la suma se multiplican por $s$ al derivar:

$$ f'(t) = c_1 s_1 e^{s_1 t} + c_2 s_2 e^{s_2 t} + c_3 s_3 e^{s_3 t} + \cdots $$

Por el contrario, integrar $f$ multiplica los coeficientes por $1/s$. Nuevamente, esto no es de ninguna manera una prueba, pero esperanzadamente brinda algo de intuición.

Otra forma de pensarlo es que la suavidad de una función está relacionada con su decaimiento en el dominio de frecuencia a medida que $s \to \infty$. Diferenciar hace que una función sea menos suave (una función dos veces diferenciable se convierte en una vez diferenciable, etc.) mientras que integrar hace que una función sea más suave (una función discontinua limitada se vuelve continua, etc.). Por lo tanto, tiene sentido que la diferenciación haga que una función decaiga más lentamente en el dominio de frecuencia, en el sentido de que $1/s$ decae más lentamente que $1/s^2$.

Answer 3

Tuve una pregunta similar aquí y llegué a la siguiente conclusión:

La transformada de Laplace implica la función exponencial: e^n*x.

Al diferenciar esto, significa n_e^n_x - lo cual es simplemente multiplicación por n.

Al integrar esto, significa 1/n_e^n_x - lo cual es simplemente división por n.

Esto es cierto para las series de potencias que son la forma discreta de las transformadas integrales (algo así) y originalmente proviene de la regla de potencia (para la diferenciación) - aunque tendrías una molesta división por la base usando términos de potencia "ordinarios". Esto se evita usando la función exponencial.

Answer 4

¿Quieres decir?

$$ \mathcal{L} \{ t^n f(t) \} = (-1)^n \frac{d^n}{ds^n} \mathcal{L}\{f(t)\}$$

y

$$ \mathcal{L}^{-1} \left\{ \frac{F(s)}{s^n} \right\} = \int_0^t {\underbrace \cdots _n} \int_0^t {f\left( t \right)dt^n} $$

es decir, multiplicar por $t$ significa una derivación en términos de $s$ y dividir por $s$ significa una integración en términos de $t.