Esperemos cálculo fácil de Lang-Steinberg: para los elementos de Weyl

Question

¿Cómo se escribe un elemento del grupo de Weyl como $g^{-1} F(g)$?

Por ejemplo, sea $G = \langle x_1(t), x_2(t), x_{-1}(t), x_{-2}(t) : t \in K \rangle$ donde $K$ es un campo algebraicamente cerrado de característica $p$, donde $F:G\to G$ es el homomorfismo de grupo que envía $x_i(t)$ a $x_i(t^q)$ para algún poder $q$ de $p$, y donde $x_i(t)$ se definen de la siguiente manera: $$ x_1(t) = \begin{bmatrix}1 & t & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -t \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}, \quad x_2(t) = \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & t & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} $$ con $x_{-i}(t)$ la transpuesta de $x_i(t)$. $G$ es un grupo algebraico lineal (afín, simple, conectado) $\operatorname{Sp}_4(K) = B_2(K)$, y $G^F$ es el grupo finito de tipo Lie $\operatorname{Sp}_4(q)$, ambos preservando la forma alternante $J=\left[\begin{smallmatrix}0&0&0&1\\0&0&1&0\\0&-1&0&0\\-1&0&0&0\end{smallmatrix}\right]$.

Sea $n_i(t) = x_i(t) \cdot x_{-i}(-1/t) \cdot x_i(t)$ y $w_i = n_i(1)$. Explícitamente, $$ w_1 = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}, \quad w_2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} $$

¿Cómo se escribe $w_i$ como $g^{-1} F(g)$ para $g \in G$?

Me gustaría una respuesta que funcione independientemente de $q$, aunque estoy bien con restricciones a $q$ impar.

Sé que tal $g$ existe según Lang (o Lang-Steinberg), pero no estoy seguro de cómo encontrarlo. He visto artículos que dan algoritmos de polinomio Las Vegas para hacer esto, pero sospecho que para tales elementos "bonitos", la salida se puede elegir para que sea bonita, en lugar de aleatoria.

Answer 1

Sospecho que una solución en $SL_2$ podría funcionar en cualquier versión de "raíz positiva única", es decir, en un subgrupo como $SL_{2,\alpha}=\langle x_\alpha(t),x_{-\alpha}(t)\mid t\in k\rangle$. Así que probemos con $SL_2(k)$. La ecuación $g^{-1}F(g)=w$ es equivalente a $F(g)=gw. En el caso de $SL_2$ tenemos $$ w=\left(\begin{array}{rr}0&1\\-1&0\end{array}\right). $$ Allí queremos encontrar $$ g=\left(\begin{array}{rr}a&b\\c&d\end{array}\right) $$ tal que $$ \left(\begin{array}{rr}a^q&b^q\\c^q&d^q\end{array}\right) =F(g)=gw=\left(\begin{array}{rr}-b&a\\-d&c\end{array}\right). $$ Esto implica las ecuaciones $a=b^q=(-a^q)^q=-a^{q^2}$, y similarmente $c=d^q=-c^{q^2}$. Por lo tanto, $a,b,c,d$ son todos negados por el segundo poder de Frobenius (asumiendo $q$ impar aquí). Pero repitiendo la dosis muestra que son puntos fijos de $F^4$. Esto implica que $a,b,c,d\in \Bbb{F}_{q^4}\setminus \Bbb{F}_{q^2}$. Por lo tanto, una solución que no dependa de $q$ no puede existir.

Aquí necesitamos la restricción del determinante $$ 1=\det g=ad-bc=ad+a^qd^q $$ para cumplir. Escribamos $u=ad$. La restricción se convierte en $1=u+u^q$. Esto se cumple por ejemplo cuando $u=1/2$ ya que como un elemento del campo primo, $1/2$ es un punto fijo de $F$. Esto sugiere la siguiente receta para $g$. Dejemos que $\varepsilon\in\Bbb{F}_{q^4}$ sea un elemento negado bajo $F^2$. Por ejemplo, podemos dejar que $\varepsilon$ sea una raíz cuadrada de un no cuadrado en $\Bbb{F}_{q^2}$. Luego podemos elegir $$ \left\{ \begin{array}{ccr} a&=&\varepsilon,\\ b&=&-\varepsilon^q,\\ d&=&1/2\varepsilon,\\ c&=&1/2\varepsilon^q. \end{array} \right. $$