¿Cómo simplificar una desigualdad trigonométrica?

Question

$| 3 ^ { \tan ( \pi x ) } - 3 ^ { 1 - \tan ( \pi x ) } | \geq 2$

Answer 1

Sea $y=3^{\tan(\pi x)}$ de modo que $3^{1-\tan(\pi x)}=\frac{3^1}{3^{\tan(\pi x)}}=\frac{3}{y}$. Ahora, tu desigualdad se convierte en $|y-\frac{3}{y}|\ge 2.

Esto se puede resolver con el algoritmo de la frontera (a veces llamado el método del punto de prueba)—resuelve la ecuación correspondiente, $|y-\frac{3}{y}|=2$, marca esas soluciones en una recta numérica, marca cualquier valor de $y$ para el cual parte(s) de la ecuación son indefinidas (por ejemplo, $y=0$), y prueba un valor en cada intervalo resultante para ver si ese intervalo satisface la desigualdad que estás resolviendo.

Una vez que hayas obtenido una solución para $y$, vuelve atrás y úsala para resolver $x$.

Answer 2

Esto es equivalente a $(y^2-3)^2\ge4y^2$ con $y=3^{\tan(\pi x)}$. La situación de $y^2$ con respecto a las raíces del polinomio $(z-3)^2-4z=(z-9)(z-1)$ determina el signo del polinomio. Como resultado, la desigualdad se cumple si $\tan(\pi x)\le0$ o $\tan(\pi x)\ge1$. Es decir, la parte fraccionaria de $x$ no debe ser $\frac12$ ni estar en $(0,\frac14)$.