Creo que hay algunas formas diferentes en que los Grupos Automáticos afectaron la historia de la Teoría de Grupos Geométricos.
Una fue mencionada por Derek Holt, que voy a explicar de una manera ligeramente diferente: si realmente quieres conocer al grupo, y si tiene una estructura automática, es mejor que conozcas esa estructura. Para un grupo individual, la forma de averiguarlo es insertar su presentación en los programas que menciona Derek. Para clases de grupos las cosas pueden ser más complicadas, pero el esfuerzo es gratificante y a veces incluso bastante hermoso, por ejemplo, las demostraciones sobre la automaticidad de los grupos de trenzas y los grupos Euclídeos en "Procesamiento de palabras en grupos", y la demostración de Niblo y Reeves sobre la bi-automatización de grupos cubulados; y guardo mucho cariño por mi trabajo demostrando la automaticidad de los grupos de clases de mapeo (y no te ofendas, Misha).
Otro hilo de influencia es la teoría de los grupos biautomáticos. Para mí, esta teoría aún no está agotada, aunque como dicen otros, tal vez las preguntas abiertas sean difíciles. Sin embargo, hay varias piezas hermosas de esta teoría que tuvieron algunos efectos interesantes, y creo que todavía hay algo de oro por descubrir aquí. La teoría comienza con los trabajos de Gersten y Short. Algunas aplicaciones de esa teoría son: la demostración por Bridson y Vogtmann de que $Out(F_n)$ no es biautomático cuando $n \ge 3; y mi demostración de que los factores directos de grupos biautomáticos son biautomáticos. También me gustan los trabajos de Neumann y Shapiro que describen completamente todas las posibles estructuras automáticas y biautomáticas en $Z^n$, y el trabajo de Neumann y Reeves y su continuación por Neumann y Shapiro que describen cómo construir estructuras biautomáticas en extensiones centrales. Me gusta pensar que uno de los efectos de la teoría de Gersten/Short es que da una pista de una estructura "jerárquica" en un grupo biautomático. La tesis de Farb sigue esta idea con su noción de grupos relativamente automáticos y biautomáticos, y la tesis de mi estudiante Donovan Rebbechi aclara algunos de estos puntos al dar pruebas rigurosas de algunas afirmaciones en la tesis de Farb sobre las estructuras biautomáticas en grupos relativamente hiperbólicos. La teoría de los grupos biautomáticos sigue definitivamente activa; explorando en MathSciNet en este mismo momento encuentro un artículo que se me escapó y que quiero leer en este momento, de Bridson y Reeves estudiando el problema de isomorfismo para grupos biautomáticos.
Un hilo de influencia separado y muy importante es cómo la teoría de grupos automáticos estimuló el interés en ciertas clases de invariantes de cuasie-isometría. Gromov ya había demostrado que la hiperbolicidad de un grupo es equivalente a la linealidad de la función Dehn (la función isoperimétrica). Una de las grandes aplicaciones de una estructura automática es el teorema de Thurston de que un grupo automático tiene una función Dehn cuadrática (o mejor), lo que combinado con el teorema de que cada función Dehn subcuadrática en realidad es lineal, prueba que los grupos automáticos no hiperbólicos tienen funciones Dehn cuadráticas exactamente. La prueba de Thurston del límite superior cuadrático introdujo el concepto de un peinado de un grupo, y esto llevó a toda una industria de estudiar diferentes clases de peinados, y los límites superiores que imponen a la función Dehn. Me gusta especialmente la prueba de Hatcher y Vogtmann encontrando un límite superior exponencial para la función Dehn de $Out(F_n)$, que procede encontrando un peinado bastante estirado (entendido el juego de palabras) para $Out(F_n)$. Encontrar límites en funciones Dehn, y precisar funciones Dehn exactas puede estar lejos de ser obvio, por ejemplo, la prueba de Robert Young de que $SL(n,Z)$ tiene una función Dehn cuadrática para $n \ge 5, y la prueba de Handel y mía del límite inferior exponencial para la función Dehn de $Out(F_n)$. El problema de los límites inferiores no está particularmente conectado a los grupos automáticos en ningún sentido matemático, pero la conexión histórica es lo que estoy tratando de enfatizar. Los peinados y las funciones Dehn han seguido creciendo a partir de estas y diversas semillas, y aunque no quiero exagerar la influencia particular del teorema de Thurston en este contexto, no obstante es (además de Gromov) uno de los cálculos concretos más tempranos de funciones Dehn.
