Transformación unitaria del Hamiltoniano con acoplamiento espín-órbita

Question

Recientemente estoy leyendo este Artículo. El autor dice que: para este Hamiltoniano: $$H(t) = \frac{p^2}{2m} + \frac{m\omega^2}{2}x^2 + \alpha p_x \sigma_y$$

Si hacemos una transformación unitaria $\mathcal{A_{\alpha}} = e^{-imx\alpha \sigma_y/\hbar}$, el Hamiltoniano se transformará a $$ H_0 = \frac{p^2}{2m} + \frac{m\omega^2}{2}x^2 $$ Y después de eso, podemos resolver la Ecuación de Schrödinger y calcular la evolución de los estados.

No puedo entender cómo hacer la transformación. ¿Es simplemente $\mathcal{A_{\alpha}}H(t)\mathcal{A_{\alpha}}^{\dagger}$? (Fallé al intentar calcular esto). ¿Alguien sabe cómo hacer la transformación?

Answer 1

Para el A correcto, toma la CC del exponente y para la matriz de espín de Pauli toma el adjunto. Espero que funcione.

Answer 2

Primero debemos ver que una transformación unitaria es muy parecida a un cambio de base en álgebra lineal:

$$ \text{Si: }i\hbar\dot\psi=H\psi, \text{ y } \psi=\mathcal{A_{\alpha}^\dagger}\phi, $$

entonces

$$ i\hbar (\mathcal{A_{\alpha}^\dagger}\dot\phi+\dot {\mathcal{A_{\alpha}^\dagger}}\phi)=H\phi \to i\hbar\dot\phi=(\mathcal{A_{\alpha}}H\mathcal{A_{\alpha}^\dagger}-i\hbar\mathcal{A_{\alpha}}\dot{\mathcal{A_{\alpha}^\dagger}} )\phi. $$

Tenemos suerte de que $\dot{\mathcal{A_{\alpha}^\dagger}}=0$ en este caso.

Ahora, para ver los efectos de esta transformación en este Hamiltoniano hacemos

$$ x \to \mathcal{A_{\alpha}} x \mathcal{A_{\alpha}}^\dagger=x\\ p \to \mathcal{A_{\alpha}} p \mathcal{A_{\alpha}}^\dagger=p-m \alpha\sigma_y\\ p^2 \to \mathcal{A_{\alpha}} p^2 \mathcal{A_{\alpha}}^\dagger=\mathcal{A_{\alpha}} p \mathcal{A_{\alpha}}^\dagger \mathcal{A_{\alpha}} p \mathcal{A_{\alpha}}^\dagger = p^2 -2m\alpha\sigma_y p+m^2\alpha^2 $$

entonces

$$ H_1=\frac{1}{2m}p^2+\frac{m}{2}(x^2\omega^2-\alpha^2). $$

Agregar una constante al Hamiltoniano solo contribuye a la fase global, por lo que podemos descartar esto y obtener el resultado deseado

$$ H_0=\frac{1}{2m}p^2+\frac{m}{2}x^2\omega^2. $$