Mostrar que si $A$ conmuta con cada matriz de cierta forma, entonces $A$ conmuta con cada matriz en $M_2(\mathbb{C})$

Question

En el Ejercicio 1.16 del libro de Hall Lie Group, Lie Algebras, and Representations, se nos pide mostrar que si $A$ conmuta con cada matriz $X$ de la forma \begin{align} \begin{pmatrix}x_1 & x_2+ix_3 \\ x_2-ix_3 & -x_1\end{pmatrix}, \end{align} (donde $x_1,x_2,x_3\in\mathbb{R}$) entonces $A$ conmuta con cada elemento de $M_2(\mathbb{C})$. Es posible representar $A=\begin{pmatrix}\alpha & \beta \\ \gamma & \delta\end{pmatrix}$ y utilizar la conmutatividad para explotar restricciones en $\alpha,\beta,\gamma,\delta$. Sin embargo, ¿hay alguna otra manera de probar esto sin investigar explícitamente $\alpha,\beta,\gamma,\delta$?

Gracias de antemano por cualquier comentario, pista y respuesta.

Answer 1

Recordemos: los endomorfismos conmutativos respetan la descomposición de los espacios propios (generalizados) entre sí.

Entonces, inmediatamente al conmutar con diag(1,-1) debemos tener $A$ diagonal. Luego, al conmutar con $\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$ se tiene que los subespacios diagonal y antidiagonal también son invariantes bajo $A$, por lo tanto, $A$ es un múltiplo de la matriz identidad. Cabe destacar que no es necesario utilizar $x_3$.

Answer 2

La condición literalmente dice que $A$ conmuta con cada matriz hermitiana sin traza. Dado que cada matriz hermitiana $H$ es la suma de una parte hermitiana sin traza y una parte escalar (es decir, $H=\left(H-\frac{\operatorname{tr}(H)}2I\right)+\frac{\operatorname{tr}(H)}2I$), $A$ también debe conmutar con cada matriz hermitiana. Se sigue que $A$ conmuta con cada matriz compleja $B$, porque $B$ siempre se puede escribir como una combinación lineal compleja de matrices hermitianas: $B=\frac12(B+B^\ast)-\frac i2(iB-iB^\ast)$.