Nuestro profesor sugirió que la Mecánica Newtoniana sólo se aplica en coordenadas cartesianas. ¿Es esto cierto?
Él dio este ejemplo.
Supongamos que hay un tren moviéndose con velocidad constante $\vec{v}=v_0\hat{x}$, con vector de posición inicial $\vec{r}=(0, y_0)$, donde $v_0,y_0$ son constantes. Él argumentó que la segunda ley de Newton no se cumpliría en coordenadas polares. ¿Alguna idea?
(Podemos suponer casos en 2D o 3D también, por lo que esféricas o polares, en realidad no importa)
Depende de lo que se entienda por "trabajar en estas coordenadas". En coordenadas cartesianas bidimensionales, un objeto que se mueve a velocidad constante tiene coordenadas $(x_0+v_xt,y_0+v_yt)$. Si uno desea traducir esto a coordenadas polares simplemente como $(r_0+v_rt,\theta_0+v_{\theta}t)$, esto en realidad "no funcionará". La forma de las ecuaciones de la mecánica newtoniana no será la misma en coordenadas polares, y por lo tanto las formas en coordenadas cartesianas de esas ecuaciones "no funcionarán".
Ten en cuenta que un sistema de coordenadas es simplemente un sistema para asignar números a puntos en el espacio (o, en relatividad, a eventos en el espacio tiempo). Un sistema de coordenadas, por definición, tiene alguna forma de asignar números a todo lo que sucede, solo que las matemáticas son más simples en algunos sistemas de coordenadas que en otros. El espacio existe independientemente del sistema de coordenadas, al igual que la física. Lo único que difiere entre los sistemas de coordenadas son los números que se asignan a los puntos, por lo que lo único que podría "no funcionar" son cosas con esos números, no la mecánica en sí misma.
Por ejemplo, en coordenadas cartesianas, los números que representan la suma de dos vectores se pueden obtener tomando la suma de los números que representan a los dos vectores que se suman, pero esto no funciona en coordenadas polares. En coordenadas cartesianas, si tienes el vector de posición (que en realidad no es un vector, en realidad está en un espacio afín, pero las cosas ya son lo suficientemente complicadas como para meterse en eso) dado en términos de una función que da la coordenada x y otra función que da la coordenada y, el vector de velocidad se puede obtener simplemente tomando las derivadas de esas funciones, pero eso no funciona en coordenadas polares. Sin embargo, los números que representan un punto no son lo mismo que el punto en sí, y los hechos sobre el primero no deberían confundirse con los hechos sobre el último.
La ventaja de las coordenadas cartesianas es que podemos tomar vectores como funciones simplemente indexadas. Pero hay una característica adicional que no se puede olvidar al cambiar variables: la base de coordenadas.
El vector de velocidad del ejemplo OP se puede expresar en su forma completa como:
$v_1(X^1, X^2) = V^1B_{11} + V^2B_{21}$
$v_2(X^1, X^2) = V^1B_{12} + V^2B_{22}$
En coordenadas cartesianas, $X^1 = x$, $X^2 = y$, $V^1 = v_x$, $V^2 = v_y$, $B_{11} = 1$, $B_{12} = 0$, $B_{21} = 0$, $B_{22} = 1$
De esa manera:
$v_1(x,y) = V^1$ y $v_2(x,y) = V^2$ son los familiares componentes cartesianos de la función indexada (y vector) $v(x,y)$.
Al transformar a coordenadas polares, es posible derivar $B_{ab}$ y $V^a$ de manera que $v_b$ no cambie. Aquí:
$B_{11} = cos(\theta)$, $B_{12} = sin(\theta)$, $B_{21} = -Rsin(\theta)$, $B_{22} = Rcos(\theta)$, $X^1 = R$, $X^2 = \theta$, $V^1 = v_R$, $V^2 = v_{\theta}$
Entonces:
$v_1(R, \theta) = v_Rcos(\theta) - v_{\theta}Rsin(\theta)$
$v_2(R, \theta) = v_Rsin(\theta) + v_{\theta}Rcos(\theta)$
En el ejemplo, $v_1 = v_0$ y $v_2 = 0$. Es fácil darse cuenta de que para mantener los mismos valores:
$$v_R = v_0cos(\theta)$$ y $$v_\theta = -v_0\frac{sin(\theta)}{R}$$
En coordenadas polares, los componentes cambian con el tiempo para que este vector sea constante con el tiempo según se deseaba. Las ecuaciones vectoriales de las leyes de Newton son válidas, pero la noción de lo que es un vector debe ser comprendida detenidamente.
Creo que tu profesor quería referirse al hecho de que al usar coordenadas polares, $\mathbf{F} = m \mathbf{a}$ no se cumplirá de manera general (en términos de componentes). Por supuesto, las leyes físicas se mantienen en cualquier sistema de coordenadas, pero escribir la aceleración en términos de coordenadas polares es complicado.
Considera el ejemplo anterior con el tren. La velocidad del tren en términos de coordenadas polares claramente está cambiando en términos de componentes. Hay una velocidad radial que se origina en el hecho de que la distancia entre el origen y el tren no crece de manera lineal. Y también hay una velocidad polar que proviene del cambio no lineal en el ángulo polar. Entonces, la velocidad del tren en términos de coordenadas polares está cambiando. Más precisamente, las componentes de la velocidad están cambiando. La velocidad total es claramente constante ya que no hay una fuerza neta actuando sobre el tren.
Creo que tu profesor intentó señalar que al usar la segunda ley de Newton en términos de componentes, obtendrás algo sin sentido para la física si no tienes cuidado. Pero como señaló la respuesta anterior, es posible generalizar la Mecánica Newtoniana a otras geometrías también.
Las leyes de Newton son relaciones vectoriales, que son independientes de los sistemas de coordenadas. Es probable que el OP interprete de manera incorrecta la afirmación hecha por el profesor. Por ejemplo, uno de los siguientes podría ser el caso:
También es posible que el profesor dijo lo que realmente dijeron, simplemente para prevenir los errores previsibles que la mayoría de los estudiantes cometen (después de un año o dos de enseñar el mismo curso, los errores y preguntas son muy predecibles), pero esta simplificación hace que la afirmación sea incorrecta, cuando se examina más rigurosamente.
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