Tengo el siguiente problema que resolver:
Si el conjunto de funciones $\{\phi_n \}_1^\infty$ es una base ortonormal en $L^2(a,b)$ y las funciones $f, g \in L^2(a,b)$, entonces muestra que:
$$\langle f, g\rangle = \sum_n \langle f, \phi_n \rangle \overline{\langle g, \phi_n \rangle}.$$
El producto punto $\langle f, g\rangle$ está definido como:
$$\langle f, g \rangle = \int_a^b f(x)\overline{g(x)}\;dx.$$
Debido a que $f, g \in L^2(a,b)$, tenemos:
$$f= \sum_n \langle f, \phi_n\rangle \phi_n \;\;\;\text{y}\;\;\;g= \sum_n \langle g, \phi_m\rangle \phi_m.$$
Aquí está mi intento:
$$\langle f, g\rangle = \int_a^bf(x)\overline{g(x)}\;dx = \int_a^b \left( \sum_n \langle f, \phi_n\rangle \phi_n(x)\right)\left( \overline{\sum_m\langle g, \phi_m\rangle \phi_m(x)}\right) \;dx$$
$$= \int_a^b \left( \sum_n \langle f, \phi_n\rangle \phi_n(x)\right)\left( \sum_m \overline{\langle g, \phi_m\rangle \phi_m(x)}\right) \;dx = \int_a^b\left( \sum_n \int_a^b f(y)\overline{\phi_n(y)}\;dy\;\phi_n (x)\right)\left( \sum_m \int_a^b \overline{g(z)}\phi_m(z)\;dz\;\overline{\phi_m(x)} \right)\;dx$$
$$?=\sum_n \langle f, \phi_n\rangle\overline{\langle g, \phi_n\rangle} = \sum_n\int_a^bf(x)\overline{\phi_n(x)}\;dx\int_a^b\overline{g(y)}\phi_n(y)\;dy$$
Entonces, ¿deberían ser iguales la última y la tercera línea? Gracias por cualquier pista
ACTUALIZACIÓN:
Creo que lo entendí con la pista que me dieron =) :
$$\langle f, g\rangle = \int_a^bf(x)\overline{g(x)}\;dx = \int_a^b \left( \sum_n \langle f, \phi_n\rangle \phi_n(x)\right)\left( \overline{\sum_m\langle g, \phi_m\rangle \phi_m(x)}\right) \;dx$$
$$=\int_a^b \sum_{n,m}\langle f, \phi_n \rangle\overline{\langle g, \phi_m\rangle}\phi_n(x)\overline{\phi_m(x)} \;dx= \int_a^b \sum_n \langle f, \phi_n \rangle\overline{\langle g, \phi_n\rangle}\phi_n(x)\overline{\phi_n(x)}\;dx$$
$$= \sum_n \langle f, \phi_n \rangle\overline{\langle g, \phi_n\rangle}\int_a^b \phi_n(x)\overline{\phi_n(x)}\;dx = \sum_n \langle f, \phi_n \rangle\overline{\langle g, \phi_n\rangle}\langle \phi_n, \phi_n\rangle = \sum_n \langle f, \phi_n \rangle\overline{\langle g, \phi_n\rangle}\;\;\blacksquare$$
