¿Por qué esta desigualdad implica no separabilidad?

Question

En [Da Prato, Giuseppe, y Jerzy Zabczyk, Stochastic equations in infinite dimensions. Cambridge University Press, 1992] p. 23 los autores dan la siguiente explicación de por qué el espacio $L(U,H)$ de operadores lineales entre espacios de Hilbert separables de dimensiones infinitas no es separable.

Sea $H=L^2(\mathbb{R})$, y defina para $t\in\mathbb{R}_{+}$ la isometría $S(t):H\rightarrow H$ por $$S(t)x = x(z+t),\;\text{for}\;x\in H, z\in\mathbb{R}$$ Suponiendo que $t>s$, $x\in H$ entonces $$|(S(t) - S(s))x| = |S(s)(S(t-s)x - x)| = |S(t-s)x - x|$$ Si suponemos que el soporte de $x$ está en el intervalo $\left]-\frac{t-s}{2}, \frac{t-s}{2}\right[$ entonces las funciones $S(t-s)x$ y $x$ tienen soportes disjuntos. Por lo tanto $$|(S(t) - S(s))x|^2 = 2|x|^2$$ y así $$|S(t) - S(s)| > \sqrt{2}$$ de aquí se concluye que $L(H,H)$ no es separable.

¿Cuál es el argumento concluyente aquí?

Answer 1

Dado que $\|S(t)-S(s)\|>\sqrt2$, los conjuntos $B_{\sqrt2/2}\bigl(S(t)\bigr)$ y $B_{\sqrt2/2}\bigl(S(s)\bigr)$ no se intersectan. Dado que hay incontables conjuntos así, ningún conjunto contable puede tener al menos un elemento en cada uno de ellos. Por lo tanto, ningún conjunto contable es denso.

Answer 2

Los autores están utilizando la siguiente proposición:

En un espacio métrico $X$, si puedes encontrar un conjunto no numerable $U \subseteq X$ tal que $\inf_{x,y \in U}d(x,y) > 0$, entonces el espacio métrico no es separable.