Definición del operador Casimir y sus propiedades

Question

No estoy seguro cuál es la definición exacta de un operador de Casimir.

En algunos textos se define como el producto de generadores de la forma: $$X^2=\sum X_iX^i$$

Pero en otras partes se define como un operador que conmuta con todos los generadores del grupo de Lie.

¿Son estas definiciones equivalentes? Si la respuesta es sí, ¿cómo podría demostrarlo (estoy pensando en usar la identidad de Jacobi)?

Answer 1

Te daré suficientes pistas para que completes la prueba por ti mismo. Si estás desesperado, estoy siguiendo las notas de Zuber, que están disponibles en línea, si mal no recuerdo.

Empecemos con alguna notación: elige alguna base $\{t_a\}$ de tu álgebra de Lie, entonces $$ [t_a,t_b] = C_{ab}{}^c t_c$$ define las constantes de estructura. Si defines $$ g_{ab} = C_{ad}{}^e C_{be}{}^d,$$ entonces esto te da un producto interno $$(X,Y) := g_{ab} x^a y^b, \quad X = x^a t_a \text{ y } Y = y^b t_b.$$ De hecho, esta "forma de Killing" está relacionada con la representación adjunta, ya que $$(X,Y) = \text{tr}(\text{ad } X \text{ ad} Y)$$ (¡ejercicio!). De manera similar, $$g_{ab} =\text{tr}(\text{ad } t_a \text{ ad } t_b).$$ En este lenguaje, el Casimir $c_2$ se da por $$ c_2 = g^{ab} t_a t_b, \qquad \text{ entonces}$$ $$[c_2,t_e] = g^{ab} [t_a t_b,t_e].$$ Ahora necesitas hacer un poco de trabajo básico (expandir el primer factor del conmutador, calcular los corchetes resultantes) y verás que esto te da $$ \ldots = g^{ab} g^{dk} C_{bek} \{ t_a,t_d \}.$$ Esto se anula (¿por qué?), ¡así que estás listo!

Editar (con respecto al comentario de Peter Kravchuk): cuando escribes $c_2 \sim t_a t_b$, en realidad no es parte del álgebra de Lie. La única multiplicación que "funciona" en álgebras de Lie es el conmutador $[t_a,t_b]$. Así que estos elementos viven en una estructura más rica, que se llama "álgebra envolvente universal". De hecho, a menudo escuchas que "el Casimir es un múltiplo de la matriz identidad", pero la matriz identidad rara vez es parte del álgebra de Lie (la identidad en un álgebra de Lie es 0). En la práctica, todo es evidente, porque haces cálculos en algún espacio vectorial.

Answer 2

I) Los invariantes de Casimir de un álgebra de Lie $L$ sobre un campo $\mathbb{F}$ son los elementos centrales del álgebra envolvente universal $U(L).

Ejemplo: El cuadrado del momento angular $\vec{J}^2$ es un invariante de Casimir cuadrático del álgebra de Lie $L=sl(2, \mathbb{C}).

II) Dada una forma bilineal asociativa/invariante $B:L\times L\to \mathbb{F}$, se puede crear un invariante de Casimir cuadrático, como se explica en esta página de Wikipedia.

Un álgebra de Lie simple tiene una única forma bilineal asociativa/invariante (hasta un factor de normalización general), es decir, la forma de Killing. Como consecuencia, un álgebra de Lie simple tiene un invariante de Casimir cuadrático único (hasta un factor de normalización general).

$$C_2 ~:=~ t_a \otimes t^a~\in~ U(L), \qquad t^a~:=~(\kappa^{-1})^{ab} t_b, \qquad \kappa_{ab}~:=~{\rm tr}({\rm ad} t_a\circ{\rm ad} t_b). $$

III) Más generalmente, un álgebra de Lie semisimple que se construye a partir de $m$ álgebras de Lie simples tiene una base de $m$ invariantes de Casimir cuadráticos.

Ejemplo: La combinación lineal

$$\alpha_L \vec{J}_{\!L}^2+\alpha_R \vec{J}_{\!R}^2$$

es un invariante de Casimir cuadrático del álgebra de Lie $L=sl(2, \mathbb{C})_L\oplus sl(2, \mathbb{C})_R$ para constantes arbitrarias $\alpha_L, \alpha_R \in \mathbb{C}.

IV) También existen invariantes de Casimir cúbicos y de orden superior. Para un álgebra de Lie semisimple $L$, por ejemplo,

$$C_n ~:=~ {\rm str}({\rm ad} t_{a_1}\circ\ldots\circ{\rm ad} t_{a_n}) t^{a_1} \otimes\ldots\otimes t^{a_n}~\in~ U(L),$$

donde ${\rm str}$ denota la traza simetrizada. Sin embargo, no son todos independientes.

V) Finalmente, en respuesta al comentario de Art Brown: el teorema de Racah establece que el número de invariantes de Casimir independientes para un álgebra de Lie compleja semisimple $L$ es igual al rango del álgebra de Lie $L.

Existen generalizaciones del teorema de Racah a álgebras de Lie no semisimples, ver por ejemplo B.G. Wybourne, Grupos Clásicos para Físicos, 1974, p. 142.

Answer 3

Aunque las dos definiciones que das son en gran medida equivalentes para álgebras de Lie semisimples, en general no lo son. Como se menciona en los comentarios, a menudo las personas consideran elementos de Casimir no cuadráticos, que pueden ser polinomios cúbicos u de grado superior, o incluso funciones racionales o trascendentales. (Ver por ejemplo https://iopscience.iop.org/article/10.1088/0305-4470/27/8/016)

Pero en la otra dirección, también puede suceder que no haya ningún operador de Casimir. Esto falla incluso para el caso más simple: hay una álgebra de Lie no abeliana única de dimensión 2, dada por $[x,y]=x$. La forma de Killing aquí es simplemente la matriz cero, por lo que el único "operador de Casimir cuadrático" es de hecho cero (lo que no "cuenta", en el sentido de que no tenemos generadores). Papers como el mencionado en el enlace anterior muestran que de hecho el número de invariantes de Casimir generalizados es cero, por lo que no tenemos invariantes lineales, cúbicos ni de ningún otro tipo.

Las álgebras de Lie semisimples tienen forma de Killing no degenerada, por eso el argumento de Vibert funciona en esos casos.