Sean $\mathcal{A}$ y $\mathcal{B}$ C*-álgebras. Sea $\phi:\mathcal{A} \rightarrow M_2\mathcal{(B)}$ un *-homomorfismo y $$\phi=\begin{bmatrix} \phi_{11} & \phi_{12}\\ \phi_{21} & \phi_{22} \end{bmatrix}$$ Si $\phi_{11}:\mathcal{A} \rightarrow M(\mathcal{B})$ es un *-homomorfismo, ¿es cierto que $\phi_{12}=\phi_{21}=0$ y que $\phi_{22}$ es un *-homomorfismo?
Usando $\phi(ab)=\phi(a)\phi(b)$ obtengo
$\phi_{11}(a)\phi_{21}(b)=0$
$\phi_{12}(ab)=\phi_{11}(a)\phi_{12}(b)+\phi_{12}(a)\phi_{22}(b)$
$\phi_{21}(ab)=\phi_{21}(a)\phi_{11}(b)+\phi_{22}(a)\phi_{21}(b)$
$\phi_{22}(ab)=\phi_{21}(a)\phi_{12}(b)+\phi_{22}(a)\phi_{22}(b)$
No pude concluir nada. Gracias de antemano.
