Problema Original
Esto no es una respuesta completa, pero es mi progreso en la conjetura (Infinitud de los super happy primes):
En primer lugar, podemos ver claramente que la raíz digital de un número es simplemente el número en sí mismo modulo $9$ ya que tenemos $n \equiv S(n) \pmod{9}$ donde $S(n)$ representa la suma de los dígitos de $n$. Mediante una iteración repetida, la raíz digital también será congruente al número original modulo $9$ y como solo tiene un dígito, es el residuo positivo más bajo de $n \pmod{9}$ (tenemos $9$ en lugar de $0$). Ahora, dejemos que nuestro número en base $10$ tenga la forma $n=\overline{d_{[1+\log{n}]} \cdots d_1d_0}$ donde el logaritmo se toma en base $10$ y $[x]$ es la función piso. Ahora, tenemos: $$n=\sum_{i=0}^{[1+\log{n}]}10^id_i \implies \sum_{i=0}^{[1+\log{n}]}d_i^{d_i} \equiv 1 \pmod{9} \implies \sum_{i=0}^{[1+\log{n}]}(d_i^{d_i} \bmod{9}) \equiv 1 \pmod{9}$$ $$ \begin{array}{c|c} d & d^d \pmod{9} \\ \hline 0 & 0 \\ 1 & 1 \\ 2 & 4 \\ 3 & 0 \\ 4 & 4 \\ 5 & 2 \\ 6 & 0 \\ 7 & 7 \\ 8 & 1 \\ 9 & 0 \\ \end{array} $$ Supongamos que un número primo $n$ tiene $A_d$ apariciones del dígito $d$ en base $10$. Así, para que $n$ sea un super happy prime: $$A_1+4A_2+4A_4+2A_5+7A_7+A_8 \equiv 1 \pmod{9}$$ Podría ser más fácil buscar super happy primes usando la congruencia anterior. Dado que se espera que los números primos no muestren sesgo en su representación digital en ninguna base, se debería esperar que lo anterior sea verdadero aproximadamente $\frac{1}{9}$ del tiempo para los primos. Dado que hay un número infinito de primos, es muy probable que haya un número infinito de super happy primes. Sin embargo, no estoy seguro de cómo demostrar lo mismo.
Podría ser útil analizar el mismo problema en bases más pequeñas. Para la base $b$, la raíz digital es el residuo positivo más bajo del número modulo $(b-1)$, donde el $0$ se representa con $(b-1)$ sí mismo.
Base $2$
Esto es trivial en el sistema de base $2$ ya que cada número generaría $1$ como la raíz digital, ya que trabajamos con el sistema módulo $1$.
Resultado: Cada primo es un super happy prime en base $2$
Base $3$
$$ \begin{array}{c|c} d & d^d \pmod{2} \\ \hline 0 & 0 \\ 1 & 1 \\ 2 & 0 \\ \end{array} $$ Así, para que un primo sea un super happy prime en la base $3$, necesita tener un número impar de $1$s en su expansión de dígitos en base $3$, es decir, $2 \nmid A_1$ o $A_1 \equiv 1 \pmod{2}$. Sin embargo: $$n=\overline{d_{[1+\log_3{n}]} \cdots d_1d_0}_{\space 3} \implies n \equiv A_1 \pmod{2}$$ ya que los otros dígitos ($0$ y $2$) son pares. Para que un primo $n>2$ sea primo, debemos tener $2 \nmid n$. Por lo tanto, tenemos directamente que $2 \nmid A_1$, lo que muestra que cada primo impar es un super happy prime en base $3$.
Resultado: Cada primo impar es un super happy prime en base $3$.
El Problema Generalizado
Se puede ver claramente que para cualquier base $b$, podemos decir que un primo es super happy si: $$C_1A_1 + C_2A_2 + \cdots + C_{b-2}A_{b-2} \equiv 1 \pmod{b-1}$$ para algunos coeficientes $0 \leqslant C_d < b-1$. Defina la siguiente secuencia: $$t_0=0$$ $$t_{bi+d}=[(t_i+C_d) \bmod{(b-1)}] \quad (0 \leqslant d < b)$$ donde se puede establecer $C_0 = C_{b-1} = 0$. Por definición, se sigue que si $t_i=1$ para el primo $i$, entonces $i$ también es un super happy prime. Es necesario demostrar que existen infinitos $i$ así.
Una de mis ideas para abordar este problema es utilizando el teorema de Green-Tao. Sospecho que para cualquier $(t_i)$, siempre habrá un $M \in \mathbb{N}$ tal que para cualquier progresión aritmética $\{x_i \space | \space 0 \leqslant i < M\}$, el conjunto- $$\{t_{x_i} \space |\space 0 \leqslant i < M\}$$ siempre contendrá uno de sus elementos como $1$. Dado que existen infinitas progresiones aritméticas de longitud al menos $M$ llenas de primos según el teorema de Green-Tao, se seguirá que hay infinitos super happy primes en todas las bases.
Resumen
- Todos los primos son super happy primes en la base $2$
- Todos los primos impares son super happy primes en la base $3$
- Se puede demostrar que hay infinitos super happy primes para cualquier base $b>3$ demostrando lo siguiente:
Defina la siguiente secuencia: $$t_0=0$$ $$t_{bi+d}=[(t_i+C_d) \bmod{(b-1)}] \quad (0 \leqslant d < b)$$ donde $C_d \equiv d^d \pmod{b-1}$.
Para cualquier progresión aritmética $\{x_i \space | \space 0 \leqslant i < M\}$ (longitud $M$), tenemos: $$\{t_{x_i} \space |\space 0 \leqslant i < M\}$$ conteniendo $1$ al menos una vez donde $M$ es una constante suficientemente grande.
Se puede notar que este problema tiene muchas similitudes con la secuencia de Prouhet-Thue-Morse.
