¿La gravedad se vuelve más fuerte cuanto más alto estás en una montaña?

Question

Así que vi este artículo que afirmaba que la gravedad es más fuerte en la cima de la montaña debido a que hay más masa debajo de ti. Sin embargo, he leído algunas preguntas que otras personas han hecho y la mayoría de las respuestas afirman que la masa está concentrada en el centro de la Tierra, lo que significa que la gravedad no se vuelve más fuerte a medida que subes. Me gustaría saber cuál de estas afirmaciones es cierta, ya que el artículo es una fuente bastante fiable. Aquí está el enlace al artículo https://nasaviz.gsfc.nasa.gov/11234

Answer 1

Estás obteniendo respuestas diferentes de la NASA y de otras fuentes, ya que están hablando de cosas ligeramente diferentes.

La NASA está hablando sobre la aceleración del satélite GRACE hacia la tierra, a medida que orbitaba sobre diferentes regiones. Cuando pasaba por el Himalaya, por ejemplo, la aceleración (gravedad) era mayor que el promedio.

Otras fuentes están hablando sobre la diferencia en la aceleración debido a la gravedad a nivel del suelo, en comparación con si caminaras por el Himalaya, entonces la aceleración disminuiría. Eso se debe a que aunque habría más masa debajo, has aumentado la distancia desde la tierra.

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Más detalle:

En la parte inferior de una montaña en forma de cono de masa $m$, radio $r$ y altura $r$, la aceleración debida a la gravedad es $g$, debido a la tierra de masa $M$, radio $R$.

$$g=\frac{GM}{R^2}\tag1$$

la diferencia en la gravedad después de subir la montaña es

$$\frac{GM}{{(R+r)}^2}+\frac{Gm}{{(\frac{3}{4}r)}^2} - g\tag2$$

El 3/4 se debe a la posición del centro de masa de un cono. Usando 1) es

$$g\bigl((1+\frac{r}{R})^{-2}+\frac{16mR^2}{9Mr^2}-1\bigr)\tag3$$

De las fórmulas para el volumen de una esfera y un cono y asumiendo densidad igual

$$\frac{m}{M} = \frac{r^3}{4R^3}\tag4$$

entonces 3) se convierte, en términos de $g$

$$y= (1+\frac{r}{R})^{-2}+\frac{4r}{9R}-1\tag5$$,

poniendo $x = \frac{r}{R}$

$$y= (1+x)^{-2}+\frac{4}{9}x-1\tag6$$

trazando esto

muestra que hay una disminución en la aceleración debida a la gravedad para todas las montañas en forma de cono realistas.

Para el Everest, si fuera un cono, $x=0.0014$ y la reducción en la gravedad es $y=0.002g$, por lo que el valor habitual de $9.81$ se convierte en aproximadamente $9.79 \;\text{m}\,\text{s}^{-2}$.

Answer 2

Hay dos factores aquí que trabajan en contra uno del otro. Uno es la distribución de masa de la Tierra cerca del lugar, que es mayor cerca de las montañas y tiende a aumentar la aceleración debido a la gravedad en ese lugar. Y el otro factor es la distancia de toda la otra masa de las otras partes de la Tierra, que también es mayor cerca de la montaña y por lo tanto tiende a disminuir la aceleración debida a la gravedad.

El resultado neto dependerá de la magnitud de estos dos efectos contrarrestantes, y dependerá de los detalles particulares de la montaña en cuestión.

Pero el punto planteado en la otra respuesta es correcto sobre la página de la NASA que has enlazado. Eso no es un mapa de la aceleración debida a la gravedad en la superficie de la Tierra. Eso es uno medido por un satélite en órbita. Para un satélite en órbita, obviamente el segundo factor es negligente, por lo tanto, solo el primer factor domina, y por lo tanto las áreas montañosas muestran una mayor aceleración debido a la gravedad.

Answer 3

Probablemente no por sí solo.

La aceleración gravitacional de un cuerpo de simetría esférica está dada por: $$ g = \frac{GM}{r^2} $$ donde $r$ es la distancia desde el centro. Suponiendo densidad uniforme, esto sería: $$ g = \frac{4\pi}3\frac{G\rho R_0^3}{r^2} $$ donde $R_0$ es el radio del cuerpo. Cuando se está en la superficie ($r=R_0$), esto se convierte en $$ g_0 = \frac{4\pi}3 G\rho R_0 $$

Hagamos matemáticas para dos casos extremos:

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1) Primero, consideremos una "montaña" esférica de radio $R_1$ ($R_1 \ll R_0$) y la misma densidad $\rho$. La aceleración gravitacional al estar en la cima de esa "montaña" es: $$ \begin{split} g&=\frac{4\pi}3G\rho\left(\frac{R_0^3}{(R_0+2R_1)^2} + R_1\right) = \left(\frac{R_0^2}{(R_0+2R_1)^2} + \frac{R_1}{R_0}\right) g_0 \\ &\equiv \left(\frac1{(1+2\epsilon)^2} + \epsilon\right) g_0 =\left(1 + \frac{(\epsilon - 1)(1+2\epsilon)^2 + 1}{(1+2\epsilon)^2}\right)g_0 =\left(1 + \epsilon\frac{4\epsilon^2 - 3}{(1+2\epsilon)^2}\right)g_0 < g_0 \end{split} $$ donde $\epsilon = R_1/R_0 \ll 1$. La desigualdad $g se deduce de $0<\epsilon<\sqrt3/2$.

Por lo tanto, una montaña "puntiaguda", que podría ser aproximadamente una esfera, probablemente tendrá una gravedad superficial menor en su cima que el promedio planetario.

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2) Ahora, consideremos un altiplano (también de la misma densidad $\rho$) que se extiende lo suficiente para que su gravedad en el medio de su superficie pueda aproximarse a la gravedad de una placa infinita, pero aún insignificante en comparación con todo el planeta, es decir, un altiplano de altura $h$ y dimensión horizontal $l$ tal que $h \ll l \ll R_0$.

La aceleración gravitacional de un plano infinito es $g_{\text{plane}} = 2\pi G\sigma$, donde $\sigma$ es la densidad de superficie, que para el altiplano es $\rho h$. La aceleración gravitacional al estar en la cima del altiplano es entonces aproximadamente: $$ \begin{split} g&=\frac{4\pi}3 G\rho \frac{R_0^3}{(R_0+h)^2} + 2\pi G\rho h = \left( \frac{R_0^2}{(R_0+h)^2} + \frac{3h}2 \right)g_0 \\ &\equiv \left(\frac1{(1+2\epsilon)^2} + 3\epsilon\right) g_0 =\left(1 + \frac{(3\epsilon - 1)(1+2\epsilon)^2 + 1}{(1+2\epsilon)^2}\right)g_0 \\ &=\left(1 + \epsilon\frac{12\epsilon^2+8\epsilon-1}{(1+2\epsilon)^2}\right)g_0 < g_0 \end{split} $$ donde $\epsilon = 2R_0/h \ll 1$. Nuevamente, la desigualdad se sigue de que $\epsilon$ es positivo y suficientemente pequeño. En este caso, menos que $(\sqrt7-2)/3$.

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En ambos casos resulta que la gravedad superficial será menor que el promedio planetario. Es razonable asumir que cualquier montaña razonable será pequeñas protuberancias que están, en términos de su aceleración gravitacional, entre una esfera y un (infinito) altiplano. Por lo tanto, si se asumen densidades uniformes, es probable que

Sin embargo, todas las consideraciones anteriores fueron bajo la suposición de una densidad uniforme. Si la montaña tiene una densidad lo suficientemente mayor en comparación con el resto del planeta (menos probable) o si la densidad no uniforme en el planeta se distribuye de manera conveniente (más probable), entonces la gravedad será más fuerte en la cima de la montaña. Pero hay que tener en cuenta que esto será debido a las densidades, no a la montaña. En un caso típico, es probable que la gravedad superficial realmente sea menor.

Answer 4

La fuerza de la gravedad varía de un punto a otro en la superficie de la Tierra, ya que la Tierra no tiene una distribución uniforme de masa. Las imágenes en el enlace que has proporcionado son evidencia de esto.

La fuerza del campo gravitatorio de la Tierra se da por $$a=\frac{GM}{r^2}$$ donde $M$ es la masa de la Tierra, $G$ es la constante gravitatoria, y $r$ es la distancia desde el centro de la Tierra.

Dado que es inversamente proporcional a la distancia al cuadrado, cuanto más te alejes de la Tierra, más débil es esta fuerza de campo.

Answer 5

Si estás en un satélite a 6870 km sobre el centro de la Tierra, y directamente debajo de ti hay tierra plana, experimentarás cierta gravedad. Si te mueves a otro punto, también a 6870 km sobre el centro, pero esta vez hay una gran montaña debajo de ti, entonces esta vez sentirás una gravedad ligeramente mayor.

Si eres una persona de pie en la superficie de la Tierra, a 6370 km sobre su centro, sentirás cierta gravedad. Si desde allí, subes una montaña de 4 km de altura, luego estarás a 6374 km sobre el centro de la Tierra. Debido a que tu distancia de la mayor parte de la Tierra aumenta, la gravedad que sientes es ligeramente menor.

(En ambos ejemplos, la latitud debe ser la misma antes y después, de lo contrario la oblatitud de la forma de la Tierra (y en el segundo ejemplo también la fuerza centrífuga relacionada con la rotación de la Tierra) influirá en el resultado.)