Ampliación del campo hiperrealista

Question

En el análisis no estándar, asumiendo la hipótesis del continuo, el campo de los hiperreales $\mathbb{R}^*$ es una extensión de campo de $\mathbb{R}$ . ¿Qué puede decir sobre esta extensión de campo?

¿Es algebraico? Probablemente no, ¿verdad? ¿Trascendental? ¿Normal? ¿Generada finitamente? ¿Separable?

Por ejemplo, estaba pensando: ¿Sería suficiente con unir un infinitesimal a $\mathbb{R}$ y obtener $\mathbb{R}^*$ ? Los axiomas de los hiperreales en los Fundamentos del Cálculo Infinitesimal de Keisler parecen sugerirlo, pero no estoy seguro.

No sé cómo enfocar esta cuestión, ya que los infinitesimales y esas cosas no son "resultado" de los polinomios (como, por ejemplo, los números complejos).

Es $\mathbb{R}^*$ ¿tal vez sea isomorfo al campo de fracciones de algún anillo polinómico? (Esto se me ocurrió después de pensar en $\mathbb{R}(\epsilon)$ y esas cosas, donde $\epsilon$ es un infinitesimal).

Answer 1

No hay ningún problema para construir $\mathbb{R}(\epsilon)$ como campo formalmente real que es isomorfo (como campo) a $\mathbb{R}(x)$ y con $\epsilon$ un infinitesimal positivo. (puede ser más fácil ver la ordenación escribiendo una función racional como una serie formal de Laurent en $\epsilon$ alrededor de 0)

Es fácil ver que no se trata de un campo hiperreal: sólo tiene potencias finitas de $\epsilon$ . En particular, si hubiera un número entero positivo transfinito $H$ entonces habría un elemento $\epsilon^H$ que es menor que cada potencia de $\epsilon$ que aparece en $\mathbb{R}(\epsilon)$ .

( $\mathbb{R}(\epsilon)$ tampoco tiene una raíz cuadrada de $\epsilon$ . Esto se puede arreglar pasando a su cierre real pero aún así fallaría la propiedad anterior)

Si se intenta adosar un segundo infinitesimal, un argumento similar demuestra que no puede ser hiperreal.

Answer 2

Brevemente, una forma de abordar esta cuestión sería intentar construir modelos alternativos de los hiperreales a través del Teorema de la Compactación que satisfagan o no las propiedades deseadas. El texto de Enderton, Introducción matemática a la lógica utiliza este tipo de construcción y tiene un tratamiento muy riguroso del análisis no estándar que puede utilizar como guía.

Como sólo me quedan 44 minutos para esta pregunta, podría contener errores fácilmente, así que vuelvo a etiquetar tu pregunta para incluir la lógica y la teoría de conjuntos para que pueda ser revisada adecuadamente.

Answer 3

No creo que sea suficiente con adosar un infinitesimal. Para construir los hiperreales a través de una ultrapotencia se requiere el axioma de elección, pero ciertamente se podría adosar un infinitesimal sin elección.

Answer 4

Una pequeña corrección a la formulación de la pregunta original: la hipótesis del continuo no es necesaria para construir una extensión de campo hiperreal de los reales. La extensión de campo alternativa más sencilla que propones está relacionada con el campo de Levi-Civita, que fue de gran interés para Abraham Robinson. Sin embargo, no tiene las propiedades cruciales que hacen que los hiperreales sean útiles en el análisis.