La ecuación de Lagrange es invariante en forma bajo CADA transformación de coordenadas. Las ecuaciones de Hamilton no lo son bajo CADA transformación del espacio de fases. ¿Por qué?

Question

Cuando hacemos una transformación de coordenadas arbitraria, invertible y diferenciable $$s_i=s_i(q_1,q_2,...q_n,t),\forall i,$$ la ecuación de Lagrange en términos de las coordenadas antiguas $$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial\dot{q}_i}\right)-\frac{\partial L}{\partial q_i}=0,\forall i$$ cambia a $$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial \hat{L}}{\partial\dot{s}_i}\right)-\frac{\partial \hat{L}}{\partial s_i}=0, \forall i$$ donde $\hat{L}(s,\dot{s},t)$ se obtiene de $L(q,\dot{q},t)$ por $$\hat{L}(s,\dot{s},t)=L(q(s,t),\dot{q}(s,\dot{s},t),t).$$

Cuando pasamos al marco Hamiltoniano, las cosas no son tan simples. Bajo una transformación arbitraria en el espacio de fases, $$~~~Q_i\to Q_i(q_1,q_2...,p_1,p_2,..,t),\forall i,\\ P_i\to P_i(q_1,q_2...,p_1,p_2,..,t), \forall i$$ las ecuaciones de Hamilton no permanecen invariantes en su forma. Esto solo sucede para una clase restringida de transformaciones, llamadas transformaciones canónicas. Además, el nuevo Hamiltoniano no se obtiene a partir del antiguo Hamiltoniano por $$\hat{H}(Q,P,t)= H(q_i(Q,P,t),p_i(Q,P,t),t)$$ incluso cuando la transformación es canónica, a menos que esa transformación canónica también sea una simetría.

¿Cuál es la razón de esto?

Answer 1

1. Un enfoque más geométrico de la formulación Hamiltoniana es considerar la variedad de contacto de $(2n+1)$ dimensiones ${\cal M}$ con coordenadas $(q^i,p_j,t)$. La acción funcional Hamiltoniana es $$S_H[\gamma]~=~\int_I \gamma^{\ast} \Theta, \qquad \Theta~=~p_j \mathrm{d}q^j -H \mathrm{d}t, \tag{1}$$ donde $\gamma:I\to {\cal M}$ es una curva.

   A partir de esto queda claro que el Hamiltoniano $H$ no es un objeto escalar sino más bien el componente $t$ de una 1-forma/co-vector, y por lo tanto se transforma de manera no trivial bajo transformaciones de coordenadas. Esto responde a la pregunta principal del OP. Véase también, por ejemplo, mi respuesta relacionada en Phys.SE aquí.

2. Además, la formulación Hamiltoniana se puede generalizar a coordenadas no canónicas, cf. por ejemplo mi respuesta en Phys.SE aquí.