¿Es convergente la integral impropia $\int_0^{\pi/2} \sqrt{\cot x}\, dx$?

Question

¿Es la integral impropia $\int_0^{\pi/2} \sqrt{\cot x} \,dx$ convergente? No puedo usar ningún tipo de prueba de comparación o algo parecido.

Answer 1

Tenga en cuenta que $\frac{\tan x}{x}$ está acotado cerca del origen, por lo que se puede estimar

$$\sqrt{\cot x} \lesssim \frac{1}{\sqrt x}$$

donde la constante implícita puede ser en realidad calculada como $1$ (aunque eso es mucho más de lo que en realidad se necesita).

Answer 2

Un posible problema de convergencia es cuando $x \to 0^{+}$, en este caso, utilizando la expansión de Taylor tenemos $$ \sqrt{\cot x} \sim \frac{1}{\sqrt{x}} $$ lo cual converge cerca de $0^{+}$.