Una pregunta sobre la conjetura del corredor solitario

Question

Después de wikipedia:

"Consideremos $k$ corredores en una pista circular de longitud unitaria. En $t = 0$, todos los corredores están en la misma posición y comienzan a correr; las velocidades de los corredores son distintas entre sí. Un corredor se considera solitario en el tiempo $t$ si está a una distancia de al menos $1/k$ de cada otro corredor en el tiempo $t$. La conjetura del corredor solitario establece que cada corredor está solo en algún momento."

He reflexionado sobre ello por mí mismo. ¿Podrías decirme por favor si mi pensamiento, presentado a continuación, es correcto?

Simplifiquemos el problema haciendo la siguiente suposición:

$m_{i}$ - número de vueltas completas que el corredor $i$ da en algún período de tiempo (llamémoslo $\delta_{t}$), $m_{i}$ es un número natural tal que $\gcd(\{m_i\})=1$, $i = 1,..,k$.

Después de un tiempo: $T_{j} = \mathrm{lcm}({m_i, i=1,..,k\text{ y }i \neq j})$ todos los corredores, aparte del corredor $j$, cruzan el punto de partida. El corredor $j$ está separado del resto (es decir, del punto de partida) por alguna distancia $d_{j}$.

Es fácil notar que $\forall j \quad \exists n \in N$: después de un tiempo $nT_{j}$ obtenemos: $d_{j} > 1/k$.

¿Es correcto mi pensamiento? Esa sería una prueba muy corta (asumiendo, por supuesto, límites impuestos sobre $m_{i}$).

Answer 1

Por lo que puedo ver, tu demostración es totalmente correcta; sin embargo, no es una demostración de la conjetura completa del corredor solitario, sino más bien una demostración de un caso particular y fácil.

En la declaración original de los problemas, las velocidades de los corredores pueden ser cualquier número real. Es un teorema que de hecho es suficiente tomar las velocidades de los corredores como números racionales.

Lo que has demostrado es que la conjetura es cierta si las velocidades de los corredores son tomadas como $1/m_i$, donde $m_1,\dots,m_k$ son enteros primos relativos entre sí. Esto no es suficiente para probar la conjetura completa.

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Como ejemplo de por qué tu enfoque no puede probar la conjetura completa, considera $v_i=i$ para $i=0,\dots,k$. Supongamos que los corredores han estado corriendo durante un tiempo $\alpha$. Luego, por el teorema de aproximación de Dirichlet, existen enteros $p,q$ con $1\le q\le k$ tales que $$ |q\alpha - p|<\frac1k $$ $q\alpha$ mide la distancia a lo largo de la pista que el corredor $q$ ha recorrido. Al restar $p$ significa restar un múltiplo de vueltas completas, por lo que $|q\alpha-p|$ puede medir la distancia entre el corredor $q$ y el corredor $0$ (que está atrapado en el punto $0$ para siempre). Por lo tanto, en este caso siempre habrá algún corredor dentro de $1/k$ del corredor $0$ (donde hay $k+1$ corredores).

En tu caso, sin embargo, no se cumple tal límite. De hecho, tienes situaciones donde todos los corredores excepto uno están juntos en el mismo punto pero uno de ellos está lejos de los otros. Por lo tanto, estás considerando un caso especial que no puede esperar probar otros casos como el mencionado anteriormente.

Answer 2

¿Significa esto que el corredor $i$ necesita $m_i$ períodos de tiempo para una vuelta? De lo contrario, cada corredor estaría en el punto de partida después de cualquier número entero de períodos de tiempo.

Incluso entonces, se necesita una condición más fuerte en los $m_i$. Necesitas $m_i\nmid\mathrm{lcm}(\lbrace m_j~|~j\neq i\rbrace)$ para todos los $i$. En particular, necesitas $m_i>1$ para todos los $i$. Por ejemplo, es suficiente si todos los $m_i$ son coprimos dos a dos y $m_i>1$ para todos los $i$.

Por otro lado, si pruebas la conjetura para $k$ corredores de velocidad $1/m_1, \dots, 1/m_k$ para enteros positivos $m_1,\dots, m_k$ que satisfacen $\mathrm{gcd}(m_1,\dots,m_k)=1$, entonces la has demostrado de manera general. Si de manera general las velocidades son racionales $\frac{a_i}{b_i}$ con $\mathrm{gcd}(a_i, b_i)=1$, puedes multiplicar las velocidades simultáneamente primero con $1/\mathrm{lcm}(a_1,\dots,a_k)$ para obtener velocidades $1/b’_i$ y luego con $\mathrm{gcd}(b'_1,\dots,b'_k)$ para obtener la situación mencionada anteriormente.