¿Puedo argumentar de esta manera para demostrar que el determinante es positivo?

Question

Sea $X$ una $n$-variedad suave con un atlas orientado $\mathcal U = (U_\alpha, (x_1^\alpha, \dots, x_n^\alpha))$. Sea $g$ una métrica Riemanniana en $X$.

Sea $g_{ij} = g\left ( {\partial \over \partial x_i^\alpha }, {\partial \over \partial x_j^\alpha}\right )$ para algún $\alpha$.

Si quiero mostrar que $\det g_{ij} >0$ ¿puedo argumentar de la siguiente manera?

(1) Por definición, una métrica Riemanniana es una forma cuadrática definida positiva.

(2) Sea $Q$ la matriz de la forma cuadrática. Dado que la forma es definida positiva, también lo es su matriz. Nótese que los autovalores de una matriz definida positiva son positivos.

(3) Escoge una base en la cual $Q$ es diagonal. Entonces, la diagonal consiste en los autovalores y

$$\det Q = \prod_i \lambda_i > 0$$

ya que $\lambda_i > 0$.

Answer 1

Sí, más o menos. Vale la pena recordar que el determinante está definido para una aplicación lineal $T: V \rightarrow V$. Estrictamente hablando, no hay una definición para una forma cuadrática $ V \otimes V \rightarrow \mathbb{R}.

Lo que estás haciendo es elegir una base de coordenadas, lo cual induce una identificación no canónica de $V$ y $V^*$. Con esta identificación, puedes pensar en $\tilde{g}: V \rightarrow V$, y luego tomar el determinante de $\tilde{g}$. Sin embargo, el signo de esto es una cantidad bien definida e independiente de la elección de la base.