Una extensión de campo separable de grado un producto de dos primos

Question

La inspiración para hacer esta pregunta se debe a esta pregunta y su primera respuesta; ver también esta misma pregunta:

Sea $F$ un campo y sea $E/F$ una extensión de campo separable con $[E:F]=n=p_1p_2$, donde $p_1$ y $p_2$ son primos (no necesariamente diferentes). Sea $\alpha_1$ un elemento primitivo: $E=F(\alpha_1)$. Supongamos que $\alpha_1 \neq \alpha_2$ es conjugado a $\alpha_1$ y que $\alpha_2 \in E.

En la pregunta citada anteriormente $[E:F]=p$ es primo, y se demostró que $E/F$ es Galois.

Mi pregunta: ¿Cuáles son las condiciones adicionales necesarias en nuestro caso $[E:F]=p_1p_2$, para que $E/F$ sea Galois? Parece que nuestra suposición de que un conjugado $\alpha_1 \neq \alpha_2 \in E$ no es suficiente. ¿Es cierto que asumir, además de la existencia de un conjugado $\alpha_1 \neq \alpha_2 \in E$, que $\alpha_2$ no es equivalente a $\alpha_1 implicará que $E/F$ es Galois? (Decimos que $\alpha_1$ y $\alpha_2$ son equivalentes si $F(\alpha_1)=F(\alpha_2)$.)

Muchas gracias.

Edición: Verdaderamente, no veo por qué asumir, además, que $\alpha_2$ no es equivalente a $\alpha_1 implicará que $E/F$ sea Galois; solo implica que $F(\alpha_2) \subsetneq F(\alpha_1).

Answer 1

Bueno, suponer que $\alpha_1$ y $\alpha_2$ no son equivalentes no implica que $E/F$ sea Galois, pero solo vacuamente, porque es imposible que no sean equivalentes. Si $f$ es el polinomio mínimo de $\alpha_1$ (y por lo tanto también de $\alpha_2$), entonces $[F(\alpha_1):F]=[F(\alpha_2):F]=\deg f$. Pero $F(\alpha_2)\subseteq E=F(\alpha_1)$, por lo que la única forma en que pueden tener la misma dimensión (finita) es si son iguales, por lo que $F(\alpha_2)=E$ también.

Para un ejemplo donde $E$ contiene dos elementos primitivos conjugados pero no es Galois, considera $F=\mathbb{Q}$ y $E=\mathbb{Q}(\sqrt[4]{2})$. Luego, $\alpha_1=\sqrt[4]{2}$ es un elemento primitivo y su conjugado $\alpha_2=-\sqrt[4]{2}$ también está en $E$, pero $E/F$ no es Galois.

Una forma correcta de generalizar el caso donde el grado es primo es que $E/F$ es Galois si $E$ contiene más de $\max(p_1,p_2)$ conjugados diferentes de un elemento primitivo. Esto se debe a que las cardinalidades de las clases de equivalencia de los conjugados deben dividir a $n=p_1p_2$ (ya que el grupo de Galois actúa de forma transitiva en ellas y cada clase de equivalencia tiene el mismo tamaño).