Su prueba es muy buena y está bien expresada. Creo que se puede hacer más corta y más concisa con un poco menos de exposición de lo obvio. Sin embargo, preferiría que los estudiantes erraran por exceso que por defecto, así que no puedo recriminarte por ser minucioso. Pero si quieres una crítica:
"Supongamos un número arbitrario n, donde n es no negativo. Si $\sqrt{n}$ es un entero, entonces $\sqrt{n}$ debe ser racional. Dado que $\sqrt{n}$ es un entero, podemos concluir que n es un número cuadrado, es decir, para algún entero a. Por lo tanto, si n es un número cuadrado, entonces $\sqrt{n}$ es racional."
Supongamos ahora que n no es un número cuadrado, queremos mostrar que la raíz cuadrada de cualquier número no cuadrado es irracional.
Todo esto se puede decir de forma más simple, y argumentar que si $\sqrt{n}$ es un entero podemos concluir que $\sqrt{n}$ es racional o que $n$ es, por lo tanto, un cuadrado perfecto, es un poco redundante. Esas son definiciones y van sin decir. Sin embargo, muestra un buen entendimiento y perspicacia al ser consciente de que se pueden asumir cosas y que todas las afirmaciones necesitan justificación, así que realmente no puedo llamar a esto "incorrecto".
Pero sería suficiente con decir: "Si $n$ es un cuadrado perfecto, entonces $\sqrt{n}$ es un entero y por lo tanto racional, así que solo es necesario probar que si $n$ no es un cuadrado perfecto, entonces $\sqrt{n}$ es irracional."
Probamos por contradicción. Es decir, suponemos que la raíz cuadrada de cualquier número no cuadrado es racional. Entonces $\sqrt{n}$=ab, donde a,b∈Z+, b≠0. También suponemos que a≠0, de lo contrario ab=0, y n será un número cuadrado, que es racional.
Terminológicamente, decir "$n$ es un número cuadrado" significa que $n$ es el cuadrado de un entero. Si $n = (\frac ab)^2$, normalmente no nos referimos a $n$ como un cuadrado (aunque es "un cuadrado de un racional"). Nunca llamaríamos a $13$ un cuadrado porque $13 = (\sqrt{13})^2$.
También no especificas lo habitual que $a$ y $b$ no tienen factores comunes. Resulta que no era necesario, pero es un estándar.
Supongamos b=1. Entonces $\sqrt{n}$=a, lo que muestra que n es un número cuadrado. Así que b≠1. Dado que $\sqrt{n}$>1, entonces a>b>1
Esto fue redundante ya que $b=1 \implies$ $a/b$ es un entero y estamos asumiendo que $n$ no es un cuadrado perfecto.
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Por el teorema de la factorización única de los enteros, todo entero positivo mayor que 1 puede expresarse como el producto de sus primos. Por lo tanto, podemos escribir a como un producto de primos y por cada número primo que exista en a, habrá un número par de primos en a². De manera similar, podemos expresar b como un producto de primos y por cada número primo que exista en b, habrá un número par de primos en b²
Bill Dubuque en los comentarios señaló que querías decir "cada factor primo será elevado a un número par".
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Sin embargo, también podemos expresar n como un producto de primos. Dado que n no es un número cuadrado, entonces existe al menos un número primo que tiene un número impar de primos. Por lo tanto, existe al menos un primo en el producto de nb² que tiene un número impar de primos. Dado que nb²=a², esto contradice el hecho de que hay un número par de primos en a² ya que un número no puede ser par e impar.
Igualmente:
En general, creo que tu prueba es muy buena.
Pero debo señalar que hay una más simple:
Suponemos que $n = \frac {a^2}{b^2}$ donde $a,b$ son enteros positivos sin factores comunes (excepto 1). Si $p$ es un factor primo de $b$ y $n$ es un entero, se deduce que $p$ es un factor primo de $a^2$ y por lo tanto de $a$. Pero esto contradice que $a$ y $b$ no tengan factores comunes. Por lo tanto, $b$ no puede tener factores primos. Pero el único entero positivo sin factores primos es $1$, entonces $b = 1$ y $n= a^2$ por lo que $\sqrt{n} = a$. Así que para cualquier entero $n$, este es un cuadrado perfecto con una raíz cuadrada entera, o $n$ no tiene una raíz cuadrada racional.
Y un pequeño detalle: Estoy asumiendo que tu clase o texto está asumiendo que todos los números reales tienen raíces cuadradas (y por lo tanto si no hay raíz cuadrada racional, la raíz cuadrada debe ser irracional). Vale la pena señalar que es un resultado del análisis real el hablar de una raíz cuadrada y afirmar que cada número real positivo realmente tiene el mismo valor de raíz cuadrada. Pero eso probablemente está más allá del alcance de este ejercicio.
Pero si quiero ser completamente preciso, tú (y yo) realmente solo hemos demostrado que para un entero positivo $n$, la raíz cuadrada es un entero o es irracional. Lo que es lo mismo que decir que si un entero positivo $n$ tiene una raíz cuadrada, la raíz es un entero o irracional. Pero en realidad no hemos demostrado que un entero positivo $n$ realmente tenga alguna raíz cuadrada en absoluto.
