Distinción entre vectores y puntos

Question

Hace tiempo que me pregunto cuál es la diferencia entre un punto y un vector. En el instituto, era muy importante distinguirlos entre sí, y utilizábamos la notación $(x,y,z)$ por puntos y $[x,y,z]$ para los vectores. Siempre teníamos que trasladar el punto $P=(a,b,c)$ al vector $\overrightarrow{OP} =[a,b,c]$ antes de empezar a calcular con ellos.

Ahora, después de empezar en la universidad, parece que a la gente ya no le importa. Mis profesores dicen que son iguales, o que son casi iguales, y los libros que tengo parecen compartir esa opinión. El libro que utilizo para mi curso de cálculo (Vector Calculus de Colley) dice, entre otras cosas, lo siguiente:

[...] adoptamos el punto de vista de que un campo vectorial asigna a cada punto $\textbf{x}$ en X a vector $\textbf{F}(\textbf{x})$ en $\mathbb{R}^n$ representado por una flecha cuya cola está en el punto $\textbf{x}$ .

Así que parece que un punto es también un vector.

Mi pregunta es la siguiente: ¿Los matemáticos distinguen entre puntos y vectores y, si lo hacen, en qué circunstancias?

Answer 1

Un punto del espacio euclidiano se considera propiamente un elemento de un espacio afín en lugar de un espacio vectorial. Esto se debe a que los espacios vectoriales tienen un origen diferenciado y el "espacio" en sentido general no lo tiene: puedes mover el origen donde quieras. Los espacios afines también se construyen para que tengan la propiedad de que la diferencia entre dos puntos sea un vector. Como los espacios afines no tienen un origen diferenciado, no se pueden sumar dos puntos en un espacio afín, pero se pueden tomar combinaciones afines .

También existe una noción más general de "punto" como un simple elemento de cualquier conjunto dotado de algún tipo de estructura geométrica, como un punto en un espacio topológico .

Answer 2

En general, los matemáticos distinguirían entre puntos y vectores en un contexto en el que esa distinción fuera importante, y podrían no molestarse en distinguirlos en un contexto en el que no lo fuera.

Answer 3

Yo diría que es una buena costumbre distinguir los puntos de los vectores (en el contexto al que creo que te refieres), ¡incluso en la universidad!

Geométricamente, cualquier punto tiene el mismo aspecto que cualquier otro, mientras que no todos los vectores son iguales; dos vectores pueden tener longitudes diferentes, por ejemplo, y hay un vector muy especial que tiene longitud cero. Y para hablar de las coordenadas de un vector, lo que se necesita es sólo una base, pero para hablar de las coordenadas de un punto se necesita una base y un origen (un punto de referencia elegido arbitrariamente).

Sin embargo, la conversión de puntos $P$ a vectores $\overrightarrow{OP}$ no es estrictamente necesario (y, en mi opinión, es un poco artificial). En su lugar, puede utilizar las operaciones geométricamente naturales "punto + vector = punto" y "punto - punto = vector" (pero, como ya ha dicho Qiaochu, no "punto + punto", que carece de sentido geométrico). Los libros de texto insisten en utilizar el vector $\overrightarrow{OP}$ sólo para que puedan expresar las cosas en términos de la operación "vector + vector = vector" y no tengan que introducir esas otras operaciones.

Answer 4

Es una buena costumbre distinguir las coordenadas de un punto de los vectores. Como todos han señalado, el espacio euclídeo es especial, pero yo añadiré que, además de eso, las coordenadas cartesianas en el espacio euclídeo son especiales. Si utilizas, por ejemplo, coordenadas polares en el espacio euclídeo, verás que no puedes restar las componentes de coordenadas de diferentes puntos para obtener las componentes del vector desplazamiento. Por ejemplo, el vector desplazamiento de el punto $(r, \theta)$ a el origen es $r \mathbf{e}_r$ no $r \mathbf{e}_r + \theta \mathbf{e}_\theta$ donde $\mathbf{e}_r$ y $\mathbf{e}_\theta$ son las bases de coordenadas normalizadas. La cosa empeora cuando se empieza a trabajar con espacios curvos generales.

(Una de mis manías es cuando la gente habla de vectores de posición, especialmente en el contexto de un espacio no afín).

Answer 5

La forma más sencilla de entender la importancia de distinguir los puntos de los vectores es considerar los subespacios. Por ejemplo, imaginemos un plano $P$ en $\mathbb{R}^3$ que no contiene el origen. Entonces, si se suman por coordenadas dos puntos de $P$ el resultado no está en $P$ . La operación punto menos punto da como resultado un vector en $\vec P$ la dirección de $P$ es decir, el plano paralelo a $P$ y que contiene el origen. Ahora la suma de vectores en $\vec P$ se queda en $\vec P$ y la adición de un vector (en $\vec P$ ) y un punto (en $P$ ) da un punto (en $P$ ).

En un entorno geométrico diferencial, todos los vectores se basan en un punto determinado. Así que si se toma este punto de vista, un vector en $\mathbb{R}^n$ debe definirse por $2n$ coordenadas. Esto equivale a olvidar que se puede comparar (es decir, definir la igualdad de) vector basado en diferentes puntos.