He estudiado lo que creo que es álgebra geométrica, pero no logro entender la diferencia entre esta y el álgebra exterior y multilineal. ¿Está relacionada de alguna manera con las álgebras de Clifford y Grassmann?
Respuesta
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Álgebra exterior
El álgebra exterior define un producto exterior antisimétrico. Un ejemplo del producto exterior de dos vectores unitarios, llamado una dos-forma, es
$$\mathbf{e}_1 \wedge \mathbf{e}_2 = -\mathbf{e}_2 \wedge \mathbf{e}_1.$$
Un ejemplo de un producto exterior de tres (unitarios) vectores, una tres-forma, es
$$\begin{aligned}\mathbf{e}_1 \wedge \mathbf{e}_2 \wedge \mathbf{e}_3 &= -\mathbf{e}_2 \wedge \mathbf{e}_1 \wedge \mathbf{e}_3 \\ &= \mathbf{e}_2 \wedge \mathbf{e}_3 \wedge \mathbf{e}_1 \\ &= -\mathbf{e}_3 \wedge \mathbf{e}_2 \wedge \mathbf{e}_1.\end{aligned}$$
Una consecuencia de esta antisimetría es que cualquier producto exterior donde uno de los vectores cruzados es colineal con otro es cero.
El álgebra exterior también tiene el concepto de dualidad, que proporciona un mapeo entre k-formas y formas N-k, donde N es la dimensión del espacio vectorial subyacente. Por ejemplo, en un espacio euclidiano tridimensional, el dual de la dos forma $ \mathbf{e}_1 \wedge \mathbf{e}_2 $, denotado $ *\left( { \mathbf{e}_1 \wedge \mathbf{e}_2} \right) $ es la cantidad
$$*\left( {\mathbf{e}_1 \wedge \mathbf{e}_2} \right) \wedge \left( { \mathbf{e}_1 \wedge \mathbf{e}_2} \right) = \mathbf{e}_1 \wedge \mathbf{e}_2 \wedge \mathbf{e}_3,$$
entonces $$*\left( {\mathbf{e}_1 \wedge \mathbf{e}_2} \right) = \mathbf{e}_3.$$
Creo que las álgebras de Grassmann tienen la misma estructura que las álgebras exteriores, pero también definen un producto regresivo relacionado con el dual del álgebra exterior.
Álgebra geométrica
En un álgebra exterior, se pueden sumar k-formas a otras k-formas, pero no se sumarían formas de diferentes rangos. Esta restricción se relaja en el álgebra geométrica (GA), donde una cantidad como
$$1 + 2 \mathbf{e}_1 + 3 \mathbf{e}_2 \wedge \mathbf{e}_4 + 5 \mathbf{e}_1 \wedge \mathbf{e}_2 \wedge \mathbf{e}_4,$$
está perfectamente bien formada. El álgebra geométrica se construye mediante productos de vectores, donde el producto de vectores se define como un producto asociativo
$$\mathbf{a} (\mathbf{b} \mathbf{c}) = (\mathbf{a} \mathbf{b}) \mathbf{c} = \mathbf{a} \mathbf{b} \mathbf{c},$$
y donde el producto de un vector consigo mismo se define como la longitud al cuadrado de ese vector
$$\mathbf{a} \mathbf{a} = \mathbf{a} \cdot \mathbf{a} = \left\lvert {\mathbf{a}} \right\rvert^2.$$
En un espacio euclidiano, esta longitud siempre es positiva, pero también se permiten métricas de longitud mixta de signo (como la del espacio de Minkowski utilizada en la relatividad especial).
El producto de dos vectores no colineales se puede factorizar como
$$\mathbf{a} \mathbf{b} = \frac{1}{{2}} \left( { \mathbf{a} \mathbf{b} + \mathbf{b} \mathbf{a} } \right) + \frac{1}{{2}} \left( { \mathbf{a} \mathbf{b} - \mathbf{b} \mathbf{a} } \right).$$
El primer término (simétrico) se puede identificar con el producto punto, mientras que el segundo término completamente antisimétrico se puede identificar como con el producto exterior, por lo que este producto vectorial completo se denota
$$\mathbf{a} \mathbf{b} = \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} + \mathbf{a} \wedge \mathbf{b}.$$
Este es uno de los ejemplos más simples de lo que se llama un multivector en GA, que contiene la suma de un escalar (grado cero) y un bivector (grado dos).
Hay varias otras consecuencias de los axiomas de producto de GA. Una de esas consecuencias es que el producto de dos vectores perpendiculares es antisimétrico, y que cualquier vector unitario tiene un cuadrado unitario. Se pueden representar varias estructuras algebraicas específicas con álgebras geométricas. Por ejemplo, se puede identificar el álgebra generada por un escalar y un bivector unitario, como
$$\text{span} \left\{ { 1, \mathbf{e}_1 \mathbf{e}_2 } \right\}$$
con números complejos. Esto es porque cualquier bivector unitario de esta forma (en un espacio euclidiano) se eleva al cuadrado de la unidad
$$\begin{aligned}(\mathbf{e}_1 \mathbf{e}_2)^2 &= (\mathbf{e}_1 \mathbf{e}_2)(\mathbf{e}_1 \mathbf{e}_2) \\ &= \mathbf{e}_1 (\mathbf{e}_2 \mathbf{e}_1) \mathbf{e}_2 \\ &= -\mathbf{e}_1 (\mathbf{e}_1 \mathbf{e}_2) \mathbf{e}_2 \\ &= -(\mathbf{e}_1 \mathbf{e}_1) (\mathbf{e}_2 \mathbf{e}_2) \\ &= - (1)(1) \\ &= -1.\end{aligned}$$
Otros ejemplos de estructuras algebraicas que pueden tener representaciones de GA incluyen cuaterniones, el álgebra de Pauli (espín) de la mecánica cuántica y el álgebra de Dirac de QED.
La representación de vectores duales de GA es a través de la multiplicación por un pseudoescalar (unitario) (un producto ordenado de todos los vectores unitarios del espacio), a menudo denotado $ I $, para el espacio vectorial. Por ejemplo, la multiplicación negativa por el pseudoescalar tridimensional tiene la propiedad de dualidad ilustrada en el ejemplo de dualidad del álgebra exterior
$$\begin{aligned}-I \mathbf{e}_1&=-\mathbf{e}_1 \mathbf{e}_2 \mathbf{e}_3 \mathbf{e}_1 \\ &=\mathbf{e}_1 \mathbf{e}_2 \mathbf{e}_1 \mathbf{e}_3 \\ &=\mathbf{e}_2 \mathbf{e}_3,\end{aligned}$$
$$\begin{aligned}-I\mathbf{e}_2 \mathbf{e}_3&=- \mathbf{e}_1 \mathbf{e}_2 \mathbf{e}_3 \mathbf{e}_2 \mathbf{e}_3 \\ &=\mathbf{e}_1 \mathbf{e}_2 \mathbf{e}_2 \mathbf{e}_3 \mathbf{e}_3 \\ &=\mathbf{e}_1.\end{aligned}$$
Un número de operaciones geométricas fundamentales, como la proyección, la rotación y la reflexión, se pueden representar todas utilizando operaciones de producción de multivectores de GA.
Álgebra de Clifford
En GA, los vectores de base para el espacio son típicamente vectores de valor real. Los vectores de valor complejo tienen usos en GA (es decir, representación en el dominio de frecuencia de vectores en electrodinámica), pero la base subyacente para el espacio vectorial sigue siendo de valor real (es decir, $\text{span} \left\{ { \mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \mathbf{e}_3 } \right\}$ ).
Las álgebras de Clifford proporcionan una generalización adicional, permitiendo que esos vectores de base residan en un espacio vectorial complejo, con modificaciones adecuadas de las reglas de producto de vectores.
Multilineal
Todas estas álgebras son álgebras lineales. Por ejemplo, en un álgebra exterior
$$\mathbf{a} \wedge (\alpha \mathbf{b} + \beta \mathbf{c}) = \alpha \mathbf{a} \wedge \mathbf{b} + \beta \mathbf{a} \wedge \mathbf{c},$$ $$(\alpha \mathbf{b} + \beta \mathbf{c})\wedge \mathbf{a} = \alpha \mathbf{b} \wedge \mathbf{a} + \beta \mathbf{c} \wedge \mathbf{a},$$
o en GA
$$\mathbf{a} \left( { \alpha \mathbf{b} + \beta \mathbf{c} \mathbf{d} } \right)= \alpha \mathbf{a} \mathbf{b} + \beta \mathbf{a} \mathbf{c} \mathbf{d}.$$ $$\left( { \alpha \mathbf{b} + \beta \mathbf{c} \mathbf{d} } \right) \mathbf{a} = \alpha \mathbf{b} \mathbf{a} + \beta \mathbf{c} \mathbf{d}\mathbf{a}.$$
