Diferencia entre función Medible y función Borel Medible

Question

Definición de función medible: Si $X$ es un espacio medible, $Y$ es un espacio topológico, entonces $f:X\to Y$ es medible siempre que $f^{-1}(V)$ sea un conjunto medible en $X$ para todo conjunto abierto $V$ en $Y. Definición de función Borel medible: Si $f:X\to Y$ es una función continua de $X$, donde $Y$ es cualquier espacio topológico, $(X,\mathfrak B)$ es un espacio medible y $f^{-1}(V)\in\mathfrak B$ para cada conjunto abierto $V$ en $Y$, entonces $f$ es una función Borel medible.

Ambas funciones son funciones de un espacio medible a un espacio topológico, ¿cuál es la diferencia entre las dos definiciones?

Answer 1

Una función medible de Borel es una función medible pero con la especificación de que el espacio medible $X$ es un espacio medible de Borel (donde $\mathfrak B$ se genera como la sigma álgebra más pequeña que contiene todos los conjuntos abiertos). La condición "$f$ es continua" es equivalente a "$f^{-1}(V)$ es abierto (y por lo tanto medible de Borel) para todo conjunto abierto $V\subseteq Y$".

Pero no todas las funciones medibles son de Borel, por ejemplo, ninguna función que tome argumentos de $(\mathbb R,\{\emptyset,\mathbb R\})$ es de Borel, porque $\{\emptyset,\mathbb R\}$ no es una sigma álgebra de Borel.

Answer 2

La diferencia radica en la $\sigma$-álgebra que forma parte de la definición de espacio medible. En tu primera definición dices que $X$ es medible pero no especificas la $\sigma$-álgebra; en la segunda especificas que la $\sigma$-álgebra es la colección de todos los conjuntos de Borel.

La $\sigma$-álgebra es una colección de conjuntos cerrados bajo uniones countable-infinitas (eso es bastante aproximado, pero si necesitas saber más, es mejor buscar una definición y algunos ejemplos).