¿Cómo es $M(S,G)$ un grupo donde es el conjunto de todas las funciones $f:S\rightarrow G$?

Question

El problema:
Sea G un grupo (escrito de forma aditiva), $S$ un conjunto no vacío, y $M(S,G)$ el conjunto de todas las funciones $f:S\rightarrow G$. Define la suma en $M(S,G)$ de la siguiente manera: $(f+g):S\rightarrow G$ se da por $s\mapsto f(s)+g(s)\in G$. Demuestra que $M(S,G)$ es un grupo.

$M(S,G)$ debe ser primero un semigrupo. Para eso,
$\forall s\in M(S,G); \Big( (f+g)+h\Big)(s)=(f+g)(s)+h(s)=\big(f(s)+g(s)\big) +h(s)\stackrel{*}{=}f(s)+\Big(g(s)+h(s)\Big)=f(s)+\Big((g+h)(s)\Big)=\Big(f+(g+h)\Big)(s)$
$*$: $G$ es un grupo.

¿Cómo es un monoide y cómo tienen inversos sus elementos?

Answer 1

¿Cuál es el elemento neutro?
Es el mapa que mapea todos los $s\in S$ al elemento neutro de $G$, llamemos a este mapa $0_M$.

¿Cuál es el inverso de $f\in M$?
Es una función $g$ tal que $\forall s\in S$ tenemos $$(f+g)(s)=f(s)+g(s)=0_M(s)=0_G,$$ así que en particular puedes "construir" $g$ como $$\forall s\in S,\quad g(s)=-(f(s))$$ y definir el inverso $$\forall f\in M, \forall s\in S, \quad (-f)(s)=-(f(s)).$$