¿El supremo de la expectativa $\le$ la expectativa del supremo?

Question

Suponga que $X$ es una variable aleatoria arbitraria, ¿es cierto lo siguiente para cualquier función $f$?: $$\underset{y\in \mathcal Y} \sup \mathbb E\big[f(X,y)\big] \le \mathbb E\big[\underset{y\in \mathcal Y} \sup f(X,y)\big]?$$

Si $f$ es convexa en $X$, entonces la desigualdad claramente se cumple, ya que el supremo de una familia de funciones convexas sigue siendo convexo. Si $f$ no es convexa en $X, creo que la desigualdad todavía se cumple por la siguiente razón:

Para cualquier realización de $X$ y cualquier valor de $y$, tenemos $f(X,y) \le \underset{y\in \mathcal Y} \sup f(X,y)$. Por lo tanto, para cualquier $y$, $\mathbb E\big[f(X,y)\big] \le \mathbb E\big[\underset{y\in \mathcal Y} \sup f(X,y)\big]$. En otras palabras, $\mathbb E\big[\underset{y\in \mathcal Y} \sup f(X,y)\big]$ es una cota superior del conjunto $\left\{\mathbb E\big[f(X,y)\big]: y\in \mathcal Y\right\}$, por lo que se sigue que $\underset{y\in \mathcal Y} \sup \mathbb E\big[f(X,y)\big] \le \mathbb E\big[\underset{y\in \mathcal Y} \sup f(X,y)\big]$.

Entonces parece que la convexidad de $f$ no es necesaria en absoluto para que se cumpla la desigualdad. ¿Me equivoqué en algo? Agradecería si alguien me corrigiera, si me he saltado algo. ¡Muchas gracias!

Answer 1

Editar: ¡lo siento - me perdí por completo que ya tenías la prueba en la pregunta - es correcto!

Podemos pensar equivalente en esto como tener una función $f_y$ para cada $y$. Entonces, lo que siempre ocurre es que para cada $y$ tenemos $\sup_y f_y(x)\geq f_y(x)$ para cada $x$, y tomando la esperanza sobre $X$ esto da $$ \mathbb{E}\left[\sup_y f_y(X)\right]\geq \mathbb{E}\left[f_y(X)\right]$$ Ahora, toma el supremo sobre el lado derecho para obtener la desigualdad que queríamos.

Answer 2

¿Cómo puedes asegurar que $\sup_{y\in \mathcal{Y}} f(X,y)$ es medible? Esto sucede si la función $y\mapsto f(x,y)$ es continua