Limit $ \sum_{k=0}^∞ \left( \sum_{j=0}^k \binom{k}{j} \left(-\frac{1}{3}\right)^j \right) $ Limite $ \sum_{k=0}^∞ \left( \sum_{j=0}^k \binom{k}{j} \left(-\frac{1}{3}\right)^j \right) $

Question

Tengo que encontrar el límite de la siguiente serie:

$$ \sum_{k=0}^ \left( \sum_{j=0}^k \binom{k}{j} \left(-\frac{1}{3}\right)^j \right) $$

Ni siquiera sé cómo abordar esto... Cualquier ayuda sería muy apreciada

Answer 1

Usando la fórmula binomial y la fórmula de la serie geométrica: $$\sum_{k=0}^{\infty}\left(\sum_{j=0}^{k}{k\choose j}\left(-\frac13\right)^j\right)=\sum_{k=0}^{\infty}\left(1-\frac13\right)^k=\lim_{k\to\infty}\frac{(2/3)^{k+1}-1}{(2/3)-1}=\frac1{1-(2/3)}=3$$

Answer 2

Consejo: La suma interna es simplemente $$\sum_{j=0}^k\binom kj\left(-\frac13\right)^j=\left(1-\frac13\right)^k.$$

Answer 3

Tenga en cuenta que, según el teorema binomial de Newton, $$ \sum_{j=0}^\infty \binom{k}{j} (x)^j =(1+x)^k$$

Para $x= (-1/3)$ obtenemos $$ \sum_{j=0}^\infty \binom{k}{j} (x)^j =(1+x)^k= (2/3)^k$$

Por lo tanto, tenemos que $$\sum_{k=0}^\infty \left( \sum_{j=0}^\infty \binom{k}{j} \left(-\frac{1}{3}\right)^j \right)= \frac {1}{1-2/3} =3$$

Answer 4

Dado que, por el teorema binomial, $ \sum_{j=0}^k \binom{k}{j}x^j = (1+x)^k $,

$\begin{array}\\ \sum_{k=0}^{∞} \left( \sum_{j=0}^k \binom{k}{j}x^j \right) &= \sum_{k=0}^{∞} (1+x)^k \\ &= \dfrac{1}{1-(1+x)} \qquad \text{serie geométrica con razón }1+x \\ &= \dfrac{-1}{x} \\ \end{array}$

Al sustituir $x=-\frac13$, se obtiene $\dfrac{-1}{-\frac13} = 3$.

Es importante notar que la suma no converge si $x > 0$, de lo contrario se llegaría a un resultado sin sentido (por ejemplo, si $x=\frac12$), $\sum_{k=0}^{∞} \left( \sum_{j=0}^k \binom{k}{j}(1/2)^j \right) = -2$.