Comienzan con $u$-sustitución de usar
$$\begin{align}
u & =x\\
dv & = \frac{3\cos(x)+\sqrt{8+\cos^2(x)}}{\sin(x)}\,dx\end{align}$$
de modo que $du=dx$, y mi CAS me dice (que supongo que podría ser verificada a través de la diferenciación y la identidad) que
$$\begin{align}
v & = \sinh^{-1}\left(\frac{\cos(x)}{\sqrt{8}}\right)+\frac{3}{2}\ln\left(\frac{3\sqrt{\cos^2(x)+8}-\cos(x)+8}{3\sqrt{\cos^2(x)+8}+\cos(x)+8}\right)+3\ln(1-\cos(x))
\end{align}$$
Ahora tenemos
$$\begin{align}
\left[x\left(\sinh^{-1}\left(\frac{\cos(x)}{\sqrt{8}}\right)+\frac{3}{2}\ln\left(\frac{3\sqrt{\cos^2(x)+8}-\cos(x)+8}{3\sqrt{\cos^2(x)+8}+\cos(x)+8}\right)+3\ln(1-\cos(x))\right)\right]_0^\pi\\
-\int_0^\pi\left(\sinh^{-1}\left(\frac{\cos(x)}{\sqrt{8}}\right)+\frac{3}{2}\ln\left(\frac{3\sqrt{\cos^2(x)+8}-\cos(x)+8}{3\sqrt{\cos^2(x)+8}+\cos(x)+8}\right)+3\ln(1-\cos(x))\right)dx
\end{align}$$
y la mayoría de la parte integral puede evaluarse tomando ventaja de la simetría alrededor de $\pi/2$:
$$\begin{align}
\left[x\left(\sinh^{-1}\left(\frac{\cos(x)}{\sqrt{8}}\right)+\frac{3}{2}\ln\left(\frac{3\sqrt{\cos^2(x)+8}-\cos(x)+8}{3\sqrt{\cos^2(x)+8}+\cos(x)+8}\right)+3\ln(1-\cos(x))\right)\right]_0^\pi\\
-3\int_0^\pi\ln(1-\cos(x))dx
\end{align}$$
($\sinh^{-1}$ es impar y $\cos(x)$ ha extraña simetría alrededor de $\pi/2$. Para el logarítmica plazo, la entrada a $\ln()$ a $x$ es el recíproco de la entrada en $\pi/2-x$.)
Algunos de los no integral-parte puede ser limpiamente evaluado:
$$\begin{align}
\pi\sinh^{-1}\left(\frac{-1}{\sqrt{8}}\right)+\frac{3\pi}{2}\ln\left(\frac{9}{8}\right)+\left[3x\ln(1-\cos(x))\right]_0^\pi\\
-3\int_0^\pi\ln(1-\cos(x))dx
\end{align}$$
y ahora se mueve el "inmundo" parte de la espalda en un integrante de:
$$\begin{align}
\pi\sinh^{-1}\left(\frac{-1}{\sqrt{8}}\right)+\frac{3\pi}{2}\ln\left(\frac{9}{8}\right)+\int_0^\pi\left(3\ln(1-\cos(x))+\frac{3x\sin(x)}{1-\cos(x)}\right)\,dx\\
-3\int_0^\pi\ln(1-\cos(x))dx\\
=\pi\sinh^{-1}\left(\frac{-1}{\sqrt{8}}\right)+\frac{3\pi}{2}\ln\left(\frac{9}{8}\right)+\int_0^\pi\frac{3x\sin(x)}{1-\cos(x)}\,dx
\end{align}$$
Mi CAS dice que esto es
$$\begin{align}
\pi\sinh^{-1}\left(\frac{-1}{\sqrt{8}}\right)+\frac{3\pi}{2}\ln\left(\frac{9}{8}\right)+\pi\ln(64)
\end{align}$$
que es la única cosa que el CAS no es que yo no acababa de conseguir. Pero no es nada especial acerca de los extremos: incluso WA puede dar una antiderivada si podemos usar el dilogarithm. Parece una integral que incluso podría aparecer en algún lugar en este sitio. Una conversión de la arcsinh y el logaritmo de las reglas de los rendimientos
$$\begin{align}
\pi\ln(2^{-\frac{1}{2}})+\pi\ln\left(\frac{27}{8^{3/2}}\right)+\pi\ln(64)=\pi\ln(54)
\end{align}$$
