Definición rigurosa de "diferencial"

Question

Cuando se trata de definiciones, seré muy estricto. La mayoría de los libros tienden a definir la diferencial de una función/variable de la siguiente manera:

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Sea $f(x)$ una función diferenciable. Al asumir que los cambios en $x$ son lo suficientemente pequeños, podemos decir: $$\Delta f(x)\approx {f}'(x)\Delta x$$ Donde $\Delta f(x)$ son los cambios en el valor de la función. Ahora definimos la diferencial de $f(x)$ de la siguiente manera: $$\mathrm{d}f(x):= {f}'(x)\mathrm{d} x$$ Donde $\mathrm{d} f(x)$ es la diferencial de $f(x)$ y $\mathrm{d} x$ es la diferencial de $x$.

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Lo que me molesta de esta definición es que es completamente circular. Es decir, estamos definiendo la diferencial con la propia diferencial. ¿Podemos definir la diferencial de manera más precisa y rigurosa?

P.D. ¿Es posible definir la diferencial simplemente como el límite de una diferencia a medida que la diferencia se aproxima a cero?: $$\mathrm{d}x= \lim_{\Delta x \to 0}\Delta x$$ Gracias de antemano.

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EDIT:

Sigo creyendo que no capturé la mejor respuesta. Prefiero que la respuesta esté en el contexto de "Cálculo" o "Análisis" en lugar de la "Teoría de Formas Diferenciales". Y de nuevo, no quiero una definición circular. Creo que es posible definir la "Diferencial" con el uso de "Límites" de alguna manera. Gracias de antemano.

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EDIT 2 (Respuesta al comentario de "Mikhail Katz"):

la explicación que di en términos del sistema de números hiperreales que contiene infinitesimales parece responder a tus preocupaciones. Estaré encantado de aclarar si algo parece confuso. - Mikhail Katz

Gracias por tu ayuda. Tengo dos problemas:

En primer lugar, definimos la diferencial como $\mathrm{d} f(x)=f'(x)\mathrm{d} x$ y luego nos engañamos pensando que $\mathrm{d} x$ no es más que otra representación de $\Delta x$ y luego, sin aclarar la razón, tratamos $\mathrm{d} x$ como la diferencial de la variable $x y luego escribimos la derivada de $f(x)$ como la razón de $\mathrm{d} f(x)$ a $\mathrm{d} x$. Así que literalmente (y también engañando sigilosamente) definimos la "Diferencial" por otra diferencial y es circular.

En segundo lugar (al menos creo que) podría ser posible definir la diferencial sin tener ningún conocimiento de la noción de derivada. Así que podemos definir "Derivada" y "Diferencial" de forma independiente y luego deducir que la relación $f'{(x)}=\frac{\mathrm{d} f(x)}{\mathrm{d} x}$ es solo un resultado natural de sus definiciones (usando posiblemente la noción de límites) y no está relacionado con la definición en sí misma.

Sé que la relación $\mathrm{d} f(x)=f'(x)\mathrm{d} x$ siempre funciona y siempre nos dará una manera de calcular diferenciales. Pero yo (como una persona estrictamente axiomática) no podría aceptarla como una definición de Diferencial.

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EDIT 3:

Respuesta a los comentarios:

No conozco ningún libro de texto que defina las diferenciales de esta manera. ¿Qué tipo de libros has estado leyendo? - Najib Idrissi

¿Qué libros? - m_t_

Consulta "Cálculo y Geometría Analítica", "Thomas-Finney", 9ª edición, página 251

y "Cálculo: Trascendentes Tempranas", "Stewart", 8ª edición, página 254

Literalemente definieron diferencial por otra diferencial.

Answer 1

Lo que me molesta es que esta definición es completamente circular. Quiero decir que estamos definiendo la diferencial por la diferencial misma. ¿Podemos definir la diferencial de manera más precisa y rigurosa?

¿Qué libro estás leyendo y dónde encontraste esa definición? Dado que mencionaste a Stewart en tu publicación, me gustaría mencionar que la versión que él dio en su libro de cálculo no es circular:

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[Agregado más tarde:] En la definición de Stewart, está usando la diferencial de $x$ para definir la diferencial de $y$, lo cual no es circular porque son dos cosas diferentes en la definición: primero de todo defines $dx$ como $\Delta x$, que es un número real y lo llamas la "diferencial de $x$"; luego defines "la diferencial de $y$ (en $x$)" como $f'(x)\ dx$ y la denotas como $dy

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En primer lugar definimos la diferencial como $\mathrm{d} f(x)=f'(x)\mathrm{d} x$ para luego engañarnos a nosotros mismos pensando que $\mathrm{d} x$ es simplemente otra representación de $\Delta x$

No. En la definición de Stewart es al revés. Él define $dx$ como $\Delta x$ primero.

y luego, sin aclarar el motivo, de hecho tratamos a $\mathrm{d} x$ como la diferencial de la variable $x

Nuevamente, es al revés. Primero se define $dx$, luego se llama la diferencial de $x.

y luego escribimos la derivada de $f(x)$ como la razón de $\mathrm{d} f(x)$ a $\mathrm{d} x$. Así que literalmente (y también engañándonos furtivamente) hemos definido "Diferencial" por otra diferencial y es circular.

No. La notación $\frac{dy}{dx}$ no está definida por $dy$ y $dx. Las tres notaciones $\frac{dy}{dx}$, $dy$ y $dx$ son cosas completamente diferentes. Se podría decir que esto es un abuso de notación, pero no circular.

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Preferiría que la respuesta esté en el contexto de "Cálculo" o "Análisis" en lugar de la "Teoría de formas diferenciales". Y nuevamente no quiero una definición circular. Creo que es posible definir la "Diferencial" con el uso de "Límites" de alguna manera.

• En el contexto de un curso de cálculo a nivel de pregrado, no creo que debas esperar una definición "rigurosa" de la diferencial de una función. En un libro de análisis "riguroso", ni siquiera se usaría el símbolo "$\approx$". Parece que no dudas de que una expresión como $ \Delta y\approx f'(x)\Delta x $ en realidad no es rigurosa.

• La dificultad para definir la diferencial de una función es que el objeto matemático "$dx$" y "$dy$" ni siquiera son un número real. (Por cierto, no creo que ningún libro de cálculo te diría qué es realmente un número real.) Uno podría apreciar la belleza y rigurosidad de la definición de límite $\epsilon$-$\delta$ tanto que podría pensar que esa es la única forma de hacer riguroso un concepto matemático. Sin embargo, ese no es el caso. En un curso de álgebra lineal a nivel de pregrado, rara vez se vería algún argumento usando el lenguaje $\epsilon$-$\delta$. Sin saber qué es una transformación lineal (que, diría yo, es el requisito mínimo para dar una definición rigurosa de diferenciales, si uno no quiere recurrir al llamado análisis no estándar, difícilmente se sabría qué es realmente la diferencial de una función.

• Si quieres leer matemáticas "rigurosas", un libro como el de Stewart (bueno para una introducción) no sería apropiado para ti. Podrías probar Análisis (I y II) de Terence Tao.

• Como dijo Terence Tao: Hay más en matemáticas que rigor y demostraciones.

Answer 2

Mi consejo: No te preocupes por eso. Siempre he enseñado cálculo sin definir esas cosas y me ha ido bien con ese enfoque. Por supuesto, a veces hago malabares con diferenciales, como en cambios de variables para integrales, pero lo introduzco con un anuncio de servicio público: esto no tiene sentido literal, todos, pero usemos como un dispositivo notacional conveniente.

Permítanme decir que creo que $ dy / dx $ como notación es genial en algunos aspectos, y $ \int_a ^ b f (x) \, dx $ es aún mejor. Te recuerda de dónde vienen estos objetos de estudio. Pero la notación $ dy / dx $ debería tomarse en su conjunto. No es un cociente de nada, aunque en apariencia recuerda a los cocientes $ \Delta y / \Delta x $. ¡Deberíamos dejar de intentar dividir $ dy / dx $ en piezas más pequeñas y dejarlo solo! (Una vez tuve un estudiante que miró $ dx^2 / dx $ en un examen, canceló las $ d $, luego canceló dos $ x $ y obtuvo la respuesta de $ x $. Tuve que admitir que tenía el orden de magnitud correcto).

Definir $ df $ como una función lineal puede confundir mucho a los estudiantes al principio. Recuerdo haber estudiado cálculo por mi cuenta con Thomas en mis tiempos, y aún tengo una copia de ese libro. Thomas intentó explicar $ df $ como esta cosa de mapeo lineal, y al releerlo ahora, parece una broma, una idea terrible. Eso parece estar muy alejado de la idea original de $ df $ como algo "increíblemente pequeño".

Por supuesto, en el entorno más avanzado del cálculo multivariable, verás $ df $ por todas partes, denotando cierto mapeo lineal. Sin embargo, eso es completamente diferente. Es una notación bastante decente allí, cuando tienes experiencia y cuando hay poca posibilidad de confusión con las nociones originales de diferenciales.

En cuanto a los hiperreales y el análisis no estándar y todo eso, no estoy calificado para decir mucho. Siempre he sido escéptico de esto. Me parece que va más allá de los "fantasmas de cantidades desaparecidas" hacia la materia oscura. Pero a algunos matemáticos (realmente no muchos) les encanta este enfoque. Cualquiera que siga este camino debe tener en cuenta que aprenderá un lenguaje que no muchos de sus compañeros y profesores entenderán.

Answer 3

La diferencial de una función en un punto dado es la parte lineal de su comportamiento.

Cuando escribes $$f(x+dx)=f(x)+\Delta_f(x,dx),$$ la $\Delta_f$ tiene una parte lineal, es decir, estrictamente proporcional a $dx$, que podemos denotar como $dy=s\,dx$, donde $s$ es una constante, y un resto, llamémoslo $\Delta'_f$.

Por lo tanto,

$$\Delta_f(x,d x)=s\,dx+\Delta'_f(x,dx)$$ donde $\Delta'_f$ tiene un comportamiento superlineal en $x$ (cuadrático o más). Gracias a esta propiedad, podemos definir $s$ mediante un límite, dejando que $\Delta'_f$ tienda a cero:

$$s:=\frac{\Delta_f(x,dx)-\Delta'_f(x,dx)}{dx}=\lim_{dx\to0}\frac{\Delta_f(x,dx)}{dx}.$$

(De hecho, $s$ está definido cuando existe el límite.)

Por supuesto, esta definición coincide con la de la derivada, lo que nos permite escribir

$$dy=f'(x)\,dx.$$

Nota que $dx,dy$ no se consideran como "infinitesimales", sino como números finitos (variables pero proporcionales entre sí).